已知椭圆x^2/a^2+y^2/
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,横坐标为根号3的点P在椭圆上,PF1的中点Q在y轴上,且∠PF1F2=π/6。
(1)求椭圆方程和点p的坐标;
过点P作x轴的垂线,垂足为A
因为QO⊥x轴,PA⊥x轴
所以,QO//PA
已知点Q为PF1中点,那么QO为△PF1A中位线
所以,O为F1A中点
所以,点A与F2重合
则,F1(-√3,0),F2(√3,0)
所以,F1F2=2c=2√3
在Rt△PF1F2中,∠PF1F2=π/6,则:PF2=F1F2*tan(π/6)=2√3*(√3/3)=2
即,点P(√3,2)
点P在椭圆x^2/a^2+y^2...全部
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,横坐标为根号3的点P在椭圆上,PF1的中点Q在y轴上,且∠PF1F2=π/6。
(1)求椭圆方程和点p的坐标;
过点P作x轴的垂线,垂足为A
因为QO⊥x轴,PA⊥x轴
所以,QO//PA
已知点Q为PF1中点,那么QO为△PF1A中位线
所以,O为F1A中点
所以,点A与F2重合
则,F1(-√3,0),F2(√3,0)
所以,F1F2=2c=2√3
在Rt△PF1F2中,∠PF1F2=π/6,则:PF2=F1F2*tan(π/6)=2√3*(√3/3)=2
即,点P(√3,2)
点P在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上,则:
3/a^2+4/b^2=1
c^2=a^2-b^2=3
联立解得:a^2=9,b^2=6
所以,椭圆方程为:x^2/9+y^2/6=1
(2)在上述椭圆上是否存在点M,使它到点N(0,3)的最长距离为6,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由。
已知椭圆方程为x^2/9+y^2/6=1,点M为其上一点
不妨设点M(3cosα,√6sinα)
那么,它与点N(0,3)之间的距离为:d^2=(3cosα-0)^2+(3-√6sinα)^2
=9cos^2 α+9+6sin^2 α-6√6sinα
=9(sin^2 α+cos^2 α)-3sin^2 α-6√6sinα+9
=9-3sin^2 α-6√6sinα+9
=-3sin^2 α-6√6sinα+18
=-3*(sin^2 α+2√6sinα+6)+36
=-3*(sinα+√6)^2+36≤36
当且仅当sinα=-√6时取等号,此时MN的最大距离为6
但是,sinα∈[-1,1],它不可能=-√6
所以,不存在这样的点M。
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