求函数的性质总汇,越全面越好希望
(1)抽象函数问题分类解析
我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中,由于这类问题抽象性强,灵活性大,多数同学感到困惑,求解无从下手。 本文试图通过实例作分类解析,供学习参考。
1。 求定义域
这类问题只要紧紧抓住:将函数 中的 看作一个整体,相当于 中的x这一特性,问题就会迎刃而解。
例1。 函数 的定义域为 ,则函数 的定义域是___。
分析:因为 相当于 中的x,所以 ,解得
或 。
例2。 已知 的定义域为 ,则 的定义域是______。
分析:因为 及 均相当于 中的x,所以
(1)当 时,则
(2)当 时,则
2。 判断奇偶...全部
(1)抽象函数问题分类解析
我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中,由于这类问题抽象性强,灵活性大,多数同学感到困惑,求解无从下手。
本文试图通过实例作分类解析,供学习参考。
1。 求定义域
这类问题只要紧紧抓住:将函数 中的 看作一个整体,相当于 中的x这一特性,问题就会迎刃而解。
例1。 函数 的定义域为 ,则函数 的定义域是___。
分析:因为 相当于 中的x,所以 ,解得
或 。
例2。 已知 的定义域为 ,则 的定义域是______。
分析:因为 及 均相当于 中的x,所以
(1)当 时,则
(2)当 时,则
2。
判断奇偶性
根据已知条件,通过恰当的赋值代换,寻求 与 的关系。
例3。 已知 的定义域为R,且对任意实数x,y满足 ,求证: 是偶函数。
分析:在 中,令 ,
得
令 ,得
于是
故 是偶函数。
例4。 若函数 与 的图象关于原点对称,求证:函数
是偶函数。
证明:设 图象上任意一点为P( )
与 的图象关于原点对称,
关于原点的对称点 在 的图象上,
又
即对于函数定义域上的任意x都有 ,所以 是偶函数。
3。 判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质,画出函数的示意图,以形助数,问题迅速获解。
例5。 如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为5,那么 在区间 上是
A。
增函数且最小值为 B。 增函数且最大值为
C。 减函数且最小值为 D。 减函数且最大值为
分析:画出满足题意的示意图1,易知选B。
图1
例6。
已知偶函数 在 上是减函数,问 在 上是增函数还是减函数,并证明你的结论。
分析:如图2所示,易知 在 上是增函数,证明如下:
任取
因为 在 上是减函数,所以 。
又 是偶函数,所以
,
从而 ,故 在 上是增函数。
图2
4。 探求周期性
这类问题较抽象,一般解法是仔细分析题设条件,通过类似,联想出函数原型,通过对函数原型的分析或赋值迭代,获得问题的解。
例7。 设函数 的定义域为R,且对任意的x,y有
,并存在正实数c,使 。试问 是否为周期函数?若是,求出它的一个周期;若不是,请说明理由。
分析:仔细观察分析条件,联想三角公式,就会发现: 满足题设条件,且 ,猜测 是以2c为周期的周期函数。
故 是周期函数,2c是它的一个周期。
5。 求函数值
紧扣已知条件进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。
例8。 已知 的定义域为 ,且 对一切正实数x,y都成立,若 ,则 _______。
分析:在条件 中,令 ,得
,
又令 ,
得 ,
例9。
已知 是定义在R上的函数,且满足: ,
,求 的值。
分析:紧扣已知条件,并多次使用,发现 是周期函数,显然 ,于是
,
所以
故 是以8为周期的周期函数,从而
6。
比较函数值大小
利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内,然后利用其单调性使问题获解。
例10。 已知函数 是定义域为R的偶函数, 时, 是增函数,若 , ,且 ,则 的大小关系是_______。
分析: 且 ,
又 时, 是增函数,
是偶函数,
故
7。 讨论方程根的问题
例11。 已知函数 对一切实数x都满足 ,并且 有三个实根,则这三个实根之和是_______。
分析:由 知直线 是函数 图象的对称轴。
又 有三个实根,由对称性知 必是方程的一个根,其余两根 关于直线 对称,所以 ,故 。
8。 讨论不等式的解
求解这类问题利用函数的单调性进行转化,脱去函数符号。
例12。 已知函数 是定义在 上的减函数,且对一切实数x,不等式 恒成立,求k的值。
分析:由单调性,脱去函数记号,得
由题意知(1)(2)两式对一切 恒成立,则有
9。
研究函数的图象
这类问题只要利用函数图象变换的有关结论,就可获解。
例13。 若函数 是偶函数,则 的图象关于直线_______对称。
分析: 的图象 的图象,而 是偶函数,对称轴是 ,故 的对称轴是 。
例14。 若函数 的图象过点(0,1),则 的反函数的图象必过定点______。
分析: 的图象过点(0,1),从而 的图象过点 ,由原函数与其反函数图象间的关系易知, 的反函数的图象必过定点 。
10。 求解析式
例15。 设函数 存在反函数, 与 的图象关于直线 对称,则函数
A。 B。 C。 D。
分析:要求 的解析式,实质上就是求 图象上任一点 的横、纵坐标之间的关系。
点 关于直线 的对称点 适合 ,即 。
又 ,
即 ,选B。
(2)高中数学高考综合复习
专题五 函数的性质(二)
一、知识网络(见专题四)
二、高考考点(见专题四)
三、知识要点
3、周期性
(1)定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使变量X取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数。
非零常数T叫做这个函数的周期。
认知:
(Ⅰ)设f(x)定义域为I,则存在非零常数T,使对任意x∈I都有f(x+T)=f(x) f(x)为周期函数,T为f(x)的一个周期。
(Ⅱ)对于定义在R上的函数f(x),若T是f(x)的一个周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是f(x)的周期。
(2)延伸:设f(x)定义域为I。
(Ⅰ)若存在非零常数T,使对任意x∈I都有f(x+T)=-f(x),则f(x)为周期函数,且2T为f(x)的一个周期。
(Ⅱ)存在非零常数a,b(a≠b),使对任意x∈I都有f(x+a)=f(x+b)(x+a与x+b的差为a-b)
f(x)为周期函数,且 是f(x)的一个正周期。
4。反函数
(1)定义:设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C。
根据函数y=f(x)中的x,y的关系,导出x= (y),如果对于y在C中的任何一个值,通过x= (y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,函数x= (y)(y∈C)叫做y=f(x)(x∈A)的反函数。
记作x=
在函数x= 中,y表示自变量,x表示函数,出于习惯和研究的方便,我们常常对调函数x= 中字母x,y的位置,将它改写成y= ,并且约定:今后凡不特别说明,函数y= 的反函数均指这种改写过的形式(矫形反函数)。
(2)定义的推论
由y=f(x)的反函数y= 的引出过程可知
(1) 两域互换:y=f(x)与y= 的定义域和值域互换
(2) 等价反解:当f(x)存在反函数时,y=f(x)(x∈A,y∈C) x= (x∈A,y∈C)
(3) 相消性质:注意到两式中x,y的同一性,运用代入手段解
, y∈C (C为反函数 的定义域)
, x∈A (A为反函数 的值域)
(3)求反函数的三部曲:
(ⅰ)确定f(x)值域;
(ⅱ)“反解”函数式:y=f(x) x= ;
(ⅲ)改写并注明定义域: y= (定义域为y=f(x)的值域)。
(4) 反函数的性质
反函数除去具有定义推论中的性质之外,还有以下主要性质。
(ⅰ)函数y=f(x)的图像与它的反函数y= 的图像关于直线y=x对称。
这一性质诠释:点(a,b)在y=f(x)图像上 点(b,a)在y= 图像上
即b=f(a) a= (a∈A,b∈C)
(ⅱ)若y=f(x)(x∈I)单调,则y=f(x) (x∈I)有反函数,并且正反函数具有同一单调性。
提醒:单调函数必有反函数,但反之不一定成立。即y=f(x) (x∈I)的反函数存在时,y=f(x)在区间I上不一定是单调的,比如,f(x)= (x≠0)的反函数存在,且它的反函数就是自身,但是f(x)= 在区间(-∞,0)∪(0,+ ∞)上不单调。
(5) 深入探索
(ⅰ)函数的反函数为自身的充要条件:f(x)= y=f(x)图象自身关于直线y=x对称或者f(x)=x。
(ⅱ)反函数的奇偶性:
① 若f(x)为奇函数且存在反函数,则其反函数 亦为奇函数;
② 若f(x)为非奇非偶函数且存在反函数,则其反函数 亦为非奇非偶函数;
③ 若f(x)为偶函数,则在定义域是非单元素集合的情况下f(x)不存在反函数。
四。经典例题。
例1。(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f( )=-f(x),
又f(2)=1,f(1)=a,则 a=
(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T,且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立,则对f(x)的奇偶性的判定是?
分析: (1)由f( )=-f(x)知f(x)是周期函数,且3是f(x)的一个周期,
又f(x)为偶函数 f(-x)=f(x)(x R)
在此基础上,寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系:
f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1)
而f(1)=a,f(2)=1,
∴a=1
(2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x) ①
又这里f(x+T)=f(T-x) ②
为了靠拢①,在②中以(x+T)替代x的位置得
f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x) ③
∴由①, ③得f(-x)=f(x)
∴f(x)为偶函数。
点评:我们从上面的分析中看到,解决比较复杂的问题,当已知条件中有两个(或两个以上)的等式时,要注意利用其它条件寻觅这两个(或其中两个)等式的内在联系。有关已知等量关系的联系一旦导出,难点便得以突破。
例2。 设定义在R上的偶函数f(x)是周期为4的周期函数,且当x [-2,0]时f(x)为增函数,
若f(-2)≥0,求证:当x [4,6]时, 为减函数。
分析:鉴于f(x)的抽象性,考虑运用函数的单调性定义证明。
注意到目标函数为 ,故在推理过程中要格外关注f(x)的符号。
证明: 设 , 为[4,6]上任意两值,且 ,
即 4≤ ≤6,
则-6≤- <- ≤-4
∴-2≤4- <4- ≤0
∵偶函数f(x)在[-2,0]上为增函数,
∴f(4- )>f(4- )≥f(-2)
即f( -4) >f( -4) ≥0 ①
∵f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(x±4)=f(x)
∴由①得 f( )>f( )≥0 ②
∴由②得
∴ 在[4,6]上为减函数。
点评:从设 , 为[4,6]上任意两值且 切入,刻意构造关于 , 的连号不等式,并且在利用函数单调性的过程中一并判定函数值的符号,这一箭双雕的策略或手法值得借鉴。
例3。 (1)若f(x-1)= -2x+3 (x≤0),则 =
(2)若f(x+1)= (x≤0),则 =
(3)若f(x)为一次函数,且 =25x-30,则f(x)=
(4)若f(x)= ( , )的反函数为自身,则a=
分析: (1)先求f(x): 由x≤0得 x-1≤-1 ①
又f(x-1)= +2 ②
∴由①②得 f(x)= +2 (x≤-1)
循着求反函数的”三部曲”
令y=f(x),则y= +2 (x≤-1且y≥3)
反解得x=- ( y≥3)
改写得y=- (x≥3)
∴所求 (x≥3)
(2)由已知得f(x+1)= -2(x+1)+1 (x+1≤1)
∴f(x)= (x≤1)
令 =a,则f(a)=1
故得 =1(a≤1)
由此解得a=0,即 =0。
点评:在可知f(x)解析式的条件下求 ,一般不用去求 ,而是利用 =u
=f(u)转化求解。
(3)注意到当f(x)为一次函数时,其反函数 也为一次函数,
令 =ax+b(a≠0),则
=a +b=a(ax+b)+b= x+ab+b
∴由已知得 x+(a+1)b=25x-30
比较两边的关系为
解得 或
∴ =5x-5 或 =-5x+
∴f(x)= +1(x∈R) 或 f(x)=- + (x∈R)
提醒:此题常见错解为f(x)=25x-30,想一想,错在哪里?
(4)解法一(着眼于利用点的对称)
由已知得点(- ,0)在y=f(x)的图象上,
∴点(0, )也在y=f(x)的图像上,
∴f(0)= -
由此得a=-2。
思考:此解法可靠性如何?
解法二(立足于求 ):
令y= ,解得x= (y≠2)
∴ = (x≠2)
∴由f(x)= 得(a+2) +( -4)x-(a+2)=0
求解 a=-2
解法三(利用f(x)的两域的特殊性)f(x)的定义域为(-∞,-a)∪(-a,+ ∞), ①
又f(x)的值域为(-∞,2)∪(2,+ ∞) ②
又 =f(x)
∴f(x)的定义域和值域相同 ③
高中数学高考综合复习
专题五 函数的性质(二)
周期性
(1)定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使变量X取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数。
非零常数T叫做这个函数的周期。
认知:
(Ⅰ)设f(x)定义域为I,则存在非零常数T,使对任意x∈I都有f(x+T)=f(x) f(x)为周期函数,T为f(x)的一个周期。
(Ⅱ)对于定义在R上的函数f(x),若T是f(x)的一个周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是f(x)的周期。
(2)延伸:设f(x)定义域为I。
(Ⅰ)若存在非零常数T,使对任意x∈I都有f(x+T)=-f(x),则f(x)为周期函数,且2T为f(x)的一个周期。
(Ⅱ)存在非零常数a,b(a≠b),使对任意x∈I都有f(x+a)=f(x+b)(x+a与x+b的差为a-b)
f(x)为周期函数,且 是f(x)的一个正周期。
4。反函数
(1)定义:设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C。
根据函数y=f(x)中的x,y的关系,导出x= (y),如果对于y在C中的任何一个值,通过x= (y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,函数x= (y)(y∈C)叫做y=f(x)(x∈A)的反函数。
记作x=
在函数x= 中,y表示自变量,x表示函数,出于习惯和研究的方便,我们常常对调函数x= 中字母x,y的位置,将它改写成y= ,并且约定:今后凡不特别说明,函数y= 的反函数均指这种改写过的形式(矫形反函数)。
(2)定义的推论
由y=f(x)的反函数y= 的引出过程可知
(1) 两域互换:y=f(x)与y= 的定义域和值域互换
(2) 等价反解:当f(x)存在反函数时,y=f(x)(x∈A,y∈C) x= (x∈A,y∈C)
(3) 相消性质:注意到两式中x,y的同一性,运用代入手段解
, y∈C (C为反函数 的定义域)
, x∈A (A为反函数 的值域)
(3)求反函数的三部曲:
(ⅰ)确定f(x)值域;
(ⅱ)“反解”函数式:y=f(x) x= ;
(ⅲ)改写并注明定义域: y= (定义域为y=f(x)的值域)。
(4) 反函数的性质
反函数除去具有定义推论中的性质之外,还有以下主要性质。
(ⅰ)函数y=f(x)的图像与它的反函数y= 的图像关于直线y=x对称。
这一性质诠释:点(a,b)在y=f(x)图像上 点(b,a)在y= 图像上
即b=f(a) a= (a∈A,b∈C)
(ⅱ)若y=f(x)(x∈I)单调,则y=f(x) (x∈I)有反函数,并且正反函数具有同一单调性。
提醒:单调函数必有反函数,但反之不一定成立。即y=f(x) (x∈I)的反函数存在时,y=f(x)在区间I上不一定是单调的,比如,f(x)= (x≠0)的反函数存在,且它的反函数就是自身,但是f(x)= 在区间(-∞,0)∪(0,+ ∞)上不单调。
(5) 深入探索
(ⅰ)函数的反函数为自身的充要条件:f(x)= y=f(x)图象自身关于直线y=x对称或者f(x)=x。
(ⅱ)反函数的奇偶性:
① 若f(x)为奇函数且存在反函数,则其反函数 亦为奇函数;
② 若f(x)为非奇非偶函数且存在反函数,则其反函数 亦为非奇非偶函数;
③ 若f(x)为偶函数,则在定义域是非单元素集合的情况下f(x)不存在反函数。
四。经典例题。
例1。(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f( )=-f(x),
又f(2)=1,f(1)=a,则 a=
(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T,且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立,则对f(x)的奇偶性的判定是?
分析: (1)由f( )=-f(x)知f(x)是周期函数,且3是f(x)的一个周期,
又f(x)为偶函数 f(-x)=f(x)(x R)
在此基础上,寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系:
f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1)
而f(1)=a,f(2)=1,
∴a=1
(2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x) ①
又这里f(x+T)=f(T-x) ②
为了靠拢①,在②中以(x+T)替代x的位置得
f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x) ③
∴由①, ③得f(-x)=f(x)
∴f(x)为偶函数。
点评:我们从上面的分析中看到,解决比较复杂的问题,当已知条件中有两个(或两个以上)的等式时,要注意利用其它条件寻觅这两个(或其中两个)等式的内在联系。有关已知等量关系的联系一旦导出,难点便得以突破。
例2。 设定义在R上的偶函数f(x)是周期为4的周期函数,且当x [-2,0]时f(x)为增函数,
若f(-2)≥0,求证:当x [4,6]时, 为减函数。
分析:鉴于f(x)的抽象性,考虑运用函数的单调性定义证明。
注意到目标函数为 ,故在推理过程中要格外关注f(x)的符号。
证明: 设 , 为[4,6]上任意两值,且 ,
即 4≤ ≤6,
则-6≤- <- ≤-4
∴-2≤4- <4- ≤0
∵偶函数f(x)在[-2,0]上为增函数,
∴f(4- )>f(4- )≥f(-2)
即f( -4) >f( -4) ≥0 ①
∵f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(x±4)=f(x)
∴由①得 f( )>f( )≥0 ②
∴由②得
∴ 在[4,6]上为减函数。
点评:从设 , 为[4,6]上任意两值且 切入,刻意构造关于 , 的连号不等式,并且在利用函数单调性的过程中一并判定函数值的符号,这一箭双雕的策略或手法值得借鉴。
例3。 (1)若f(x-1)= -2x+3 (x≤0),则 =
(2)若f(x+1)= (x≤0),则 =
(3)若f(x)为一次函数,且 =25x-30,则f(x)=
(4)若f(x)= ( , )的反函数为自身,则a=
分析: (1)先求f(x): 由x≤0得 x-1≤-1 ①
又f(x-1)= +2 ②
∴由①②得 f(x)= +2 (x≤-1)
循着求反函数的”三部曲”
令y=f(x),则y= +2 (x≤-1且y≥3)
反解得x=- ( y≥3)
改写得y=- (x≥3)
∴所求 (x≥3)
(2)由已知得f(x+1)= -2(x+1)+1 (x+1≤1)
∴f(x)= (x≤1)
令 =a,则f(a)=1
故得 =1(a≤1)
由此解得a=0,即 =0。
点评:在可知f(x)解析式的条件下求 ,一般不用去求 ,而是利用 =u
=f(u)转化求解。
(3)注意到当f(x)为一次函数时,其反函数 也为一次函数,
令 =ax+b(a≠0),则
=a +b=a(ax+b)+b= x+ab+b
∴由已知得 x+(a+1)b=25x-30
比较两边的关系为
解得 或
∴ =5x-5 或 =-5x+
∴f(x)= +1(x∈R) 或 f(x)=- + (x∈R)
提醒:此题常见错解为f(x)=25x-30,想一想,错在哪里?
(4)解法一(着眼于利用点的对称)
由已知得点(- ,0)在y=f(x)的图象上,
∴点(0, )也在y=f(x)的图像上,
∴f(0)= -
由此得a=-2。
思考:此解法可靠性如何?
解法二(立足于求 ):
令y= ,解得x= (y≠2)
∴ = (x≠2)
∴由f(x)= 得(a+2) +( -4)x-(a+2)=0
求解 a=-2
解法三(利用f(x)的两域的特殊性)f(x)的定义域为(-∞,-a)∪(-a,+ ∞), ①
又f(x)的值域为(-∞,2)∪(2,+ ∞) ②
又 =f(x)
∴f(x)的定义域和值域相同 ③
函数的性质
函数的性质是研究函数的重要内容之一,它包括函数的奇偶性、单调性、周期性、连续性及可导性,连续性及可导性在前面导数部分中已经讲得很多了,下面我们着重复习其它三种性质。
1。
函数的奇偶性
如果对于函数f(x)的定义域的任意自变量值x都有f(-x)=f(x),那么就称f(x)是偶函数;
如果对于函数f(x)的定义域的任意自变量值x都有f(-x)=-f(x),那么就称f(x)是奇函数;
注意:
(1)判断函数奇偶性的必要条件:定义域关于原点对称;
(2)
f(-x)=f(x) f(-x)-f(x)=0
f(-x)=-f(x) f(-x)+f(x)=0
例1.判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=log2(1+4x)-x
解:定义域:R
f(-x)=log2(1+4-x)+x
=log2(4x+1)-log24x+x
=log2(4x+1)-2x+x
=f(x)
∴f(x)为偶函数
。收起