计算为柱面被两个平面截下部分的外
用Divergence Theorem。曲面不封闭，加上下两个圆盘S1(向上),S2(向下)，使其封闭。在S1上z=1,所以
∫∫S1 y^2dzdx+zdxdy=∫∫S1 dxdy=S1的面积=pi。
在S2上z=0, 所以
∫∫S2 y^2dzdx+zdxdy=0
因此
∫∫(S+S1+S2) y^2dzdx+zdxdy
=∫∫∫[2y+1] dV
x^2+(y-1)^2=1,
x=rcost,y=1+rsint,z=z
∫∫∫[2y+1] dV =∫(r=0-->1)∫(t=0-->2pi)∫(z=0-->1) [2+2rsint+1] rdzdtdr=∫(r=0-->1)∫(t...全部
用Divergence Theorem。曲面不封闭，加上下两个圆盘S1(向上),S2(向下)，使其封闭。在S1上z=1,所以
∫∫S1 y^2dzdx+zdxdy=∫∫S1 dxdy=S1的面积=pi。
在S2上z=0, 所以
∫∫S2 y^2dzdx+zdxdy=0
因此
∫∫(S+S1+S2) y^2dzdx+zdxdy
=∫∫∫[2y+1] dV
x^2+(y-1)^2=1,
x=rcost,y=1+rsint,z=z
∫∫∫[2y+1] dV =∫(r=0-->1)∫(t=0-->2pi)∫(z=0-->1) [2+2rsint+1] rdzdtdr=∫(r=0-->1)∫(t=0-->2pi) [2+2rsint+1] rdzdtdr=3pi
所以所求曲面积分=3pi-pi=2pi。
注：求三重积分也可以利用重心的方法求得：显然可见柱体的重心(centroid)为(0,1,1/2)
因此三重积分∫∫∫[2y+1] dV
=2*∫∫∫y dV +V的体积
=2*1*V的体积+V的体积
=3*V的体积=3*pi*1^1*1=3*pi。
收起
