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请讲一讲海伦公式及应用

初三的题目中会遇到的有关问题么?

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2005-02-21

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    海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有: 设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则 S△ABC = aha= ab×sinC = r p = 2R2sinAsinBsinC = = 其中,S△ABC = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
     海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、 海伦公式的变形 S= = ① = ② = ③ = ④ = ⑤ 二、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 分析:先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。
     证明:如图ha⊥BC,根据勾股定理,得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④,故得证。
   证二:斯氏定理 分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。   斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D, 若BD=u,DC=v,AD=t。则 t 2 = 证明:由证一可知,u = v = ∴ ha 2 = t 2 = - ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤,故得证。
     证三:余弦定理 分析:由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 对其进行证明。 证明:要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证。
     证四:恒等式 分析:考虑运用S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式:若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明:如图,tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式,得: + + = ①②③代入,得: ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x ∴x = 同理:y = z = 代入 ④,得: r 2 · = 两边同乘以 ,得: r 2 · = 两边开方,得: r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证。
     证五:半角定理 半角定理:tg = tg = tg = 证明:根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得: r3 = ×xyz ∵由证一,x = = -c = p-c y = = -a = p-a z = = -b = p-b ∴ r3 = ∴ r = ∴S△ABC = r·p = 故得证。
     三、 海伦公式的推广 由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p= ,则S四边形= 现根据猜想进行证明。
   证明:如图,延长DA,CB交于点E。   设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB~△ECD ∴ = = = 解得: e = ① f = ② 由于S四边形ABCD = S△EAB 将①,②跟b = 代入公式变形④,得: ∴S四边形ABCD = = = = = = = = = = = 所以,海伦公式的推广得证。
     四、 海伦公式的推广的应用 海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用,特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中,直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。 例题:如图,四边形ABCD内接于圆O中,SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2。
   求:四边形可能为等腰梯形。   解:设BC = x 由海伦公式的推广,得: = (4-x)(2+x)2 =27 x4-12x2-16x+27 = 0 x2(x2—1)-11x(x-1)-27(x-1) = 0 (x-1)(x3+x2-11x-27) = 0 x = 1或x3+x2-11x-27 = 0 当x = 1时,AD = BC = 1 ∴ 四边形可能为等腰梯形。
     。

2005-02-21

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三角形的三条边的边长a、b、c,面积为S 使:l=(a+b+c)/2 则, 海伦公式: S = 根号下[l(l-a)(l-b)(l-c)] 知道三角形三边长, 可以求出三角形的面积. 该公式现在已经不用了

2005-02-21

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三角形的三条边的边长a、b、c,面积为S 使:s=(a+b+c)/2 则, 海伦公式: S = genhao[s(s-a)(s-b)(s-c)] 它在只知道三角形边长情况下, 可以求出三角形的面积.

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