已知数列{an}的各项均为正数，他的前n项和Sn与通项an有关系S n=(an+1/an)/2
1)写出数列{an}的前四项
2）猜想{an}的通项公式，并给出证明。
S1=a1 =(a1+1/a1)/2
a1为正数 ===>a1 = 1
S n=(an+1/an)/2 ===>2anSn=an^+1 。。。。。。。。。。。。。 (1)
2a2(1+a2) =a2^+1 ==>a2 =根号2 -1
2a3(1+a2+a3) =a3^+1 ===>a3=根号3 -根号2
2a4(1=a2+a3+a4)=a4^+1 ===>a4 =根号4 -根号3
2)猜想{an}的通项公式: an =根号n -根号(n-1)
用数学归纳法证明
在 a1=1=根号1 -根号0 a2=根号2 -根号1 时都成立
如果an =根号n -根号(n-1)成立...全部
S1=a1 =(a1+1/a1)/2
a1为正数 ===>a1 = 1
S n=(an+1/an)/2 ===>2anSn=an^+1 。。。。。。。。。。。。。
(1)
2a2(1+a2) =a2^+1 ==>a2 =根号2 -1
2a3(1+a2+a3) =a3^+1 ===>a3=根号3 -根号2
2a4(1=a2+a3+a4)=a4^+1 ===>a4 =根号4 -根号3
2)猜想{an}的通项公式: an =根号n -根号(n-1)
用数学归纳法证明
在 a1=1=根号1 -根号0 a2=根号2 -根号1 时都成立
如果an =根号n -根号(n-1)成立
则,显然Sn =根号n
所以,Sn+1 = Sn+a(n+1)
= 根号n+a(n+1)
代入(1)式
===>2a(n+1)[根号n+a(n+1)] =a(n+1)^ +1
a(n+1)^ +2(根号n)a(n+1) =1
[a(n+1)+根号n]^=(根号n)^+1=n+1
===>a(n+1) =根号(n+1) -根号n
所以,推测在a(n+1)时也成立
所以,an =根号n -根号(n-1)成立
。收起
