求一个数列1，1，2，3，5，8，………
数学中有一个以他的名字命名的著名数列：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……
从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。 这个数列是斐波那契在
他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对
兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三
个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，
一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。 斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系。
斐波拉契数列的通项公式
由an+2=an+1+an
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数学中有一个以他的名字命名的著名数列：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……
从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。
这个数列是斐波那契在
他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对
兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三
个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，
一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。
斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系。
斐波拉契数列的通项公式
由an+2=an+1+an
有an+2-an+1-an=0
构造特征方程x2-x-1=0,
令它的两个根是p,q有pq=-1p+q=1
下面我们来证{an+1-pan}是以q为公比的等比数列。
为了推导的方便，令a0=1，仍满足an+2=an+1+an
an+1-pan
=an+an-1-pan
=(1-p)an-pqan-1
=q(an-pan-1)
所以：{an+1-pan}是以q为公比的等比数列。
a1-pa0
=1-p=q
所以an+1-pan=q*qn=qn+1①
同理an+1-qan=p*pn=pn+1②
①-②:(q-p)an=qn+1-pn
因p=(1-√5)/2,q=(1+√5)/2，q-p=√5，所以
an=(1/√5){[(1+√5)/2]n+1-[(1-√5)/2]n+1}
可验证a0，a1也适合以上通项公式
。
收起
