看图列方程,解方程看图,A球沿着
此问题为在球面三角形中,一边(圆弧c)的弦(AB)为定长L时,求对应于动点A、B位置的时间函数t=t(L)。
首先,
改:
1。两园所在平面分别表为P、Q。
2。则两圆平面法向量分别为:P={Px,Py,Pz}, Q={Qx,Qy,Qz}。
3。设A、B从C开始运动。
球面三角形ABC中,∠A=∠BAC、∠B=∠ABC、∠C=∠PQ、a=BC、b=AC、c=AB(均指大圆的弧段)之弧长为t的函数;Ha=VA*t,Hb=VB*t,c的弦AB=L。
以下为简便计,以a、b表示Ha=VA*t,Hb=VB*t对应的圆心角,即a=∠BOC=VA*t/R、b=∠AOC=VB*t/R,均以弧度表...全部
此问题为在球面三角形中,一边(圆弧c)的弦(AB)为定长L时,求对应于动点A、B位置的时间函数t=t(L)。
首先,
改:
1。两园所在平面分别表为P、Q。
2。则两圆平面法向量分别为:P={Px,Py,Pz}, Q={Qx,Qy,Qz}。
3。设A、B从C开始运动。
球面三角形ABC中,∠A=∠BAC、∠B=∠ABC、∠C=∠PQ、a=BC、b=AC、c=AB(均指大圆的弧段)之弧长为t的函数;Ha=VA*t,Hb=VB*t,c的弦AB=L。
以下为简便计,以a、b表示Ha=VA*t,Hb=VB*t对应的圆心角,即a=∠BOC=VA*t/R、b=∠AOC=VB*t/R,均以弧度表示。
在空间解析几何中,有:
*cosC=(PxQx+PyQy+PzQz)/√[(Px^2+Py^2+Pz^2)*(Qx^2+Qy^2+Qz^2)],
sinC=[(PxQy-PyQx)^2+(PyQz-PzQy)^2+(PzQx-PxQz)^2]/√[(Px^2+Py^2+Pz^2)*(Qx^2+Qy^2+Qz^2)]
在球面三角形ABC中,有:
*ctgB=(sina*ctgb-cosa*cosC)/sinC,其中小写字母a、b、c为圆心角,大写字母A、B、C为球面三角形的顶角,须注意。
由此:
sinB=1/√(1+ctg^2B)。
由球面三角形的正弦定理得:
L^2/(2R^2)=sinc=sinb*sinC/sinB
=sin(VB*t/R)*sinC*√(1+ctg^2B)
=sin(VB*t/R)*√{sinC+[sin(VA*t/R)*ctg(VB*t/R)-cosC*cos(VA*R/t]^2}
由上式想将t表达为L的函数,几乎是不可能的。
(以上有*的公式见于数学手册或教科书)
讨论:
1。你评论的“球的运动可能有四个方向组合,两个同方向,两个反方向”实际上也只是两个组合,即A右B右和A左B右。而A左B左和A右B左可用-t带入前者即可得到,即两者在时间上是对称的。
2。在P、Q以CD为轴形成的4个象限中,一般情况下,靠近C、D两点,在每个象限都有两个几何上可能的解(一个是A靠近C,一个是B靠近C),所以共有16个几何上可能的解,但对应的t则有无数个。
因为这是周期函数。
特殊情况下至少有两个解(VA=VB,L=0时,t=0,t=n*Pi*R/VA)。
3。这是一个反三角函数的超越方程,只能用图解法或迭代法得出每种组合的8个解。
。
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