初中二年级不等式题

一个初中不等式竞赛题在△ABC的

在△ABC的边AC,BC上分别取点M,N,在MN上取点L。△ABC,△AML,△BNL的面积分别为S,P,Q。 求证 3√S≥3√P+3√Q。 [3√S表示S开三次方] 证明 设∠AMN=α,∠BNM=β。 则 2P=AM*LM*sinα, 2Q=BN*LN*sinβ。 在△CMN中,由正弦定理得:CM/CN=sinβ/sinα。 ∴P/Q=AM*LM*sinα/BN*LN*sinβ=AM*LM*CN/BN*LN*CM。 记AM/MC=x^3,CN/NB=y^3,ML/NL=z^3。 ∴P=(xyz)^3*Q。 ∵2S=AC*BC*sinC=(AM+CM)*(BN+CN)sin(α+...全部

  在△ABC的边AC,BC上分别取点M,N,在MN上取点L。△ABC,△AML,△BNL的面积分别为S,P,Q。 求证 3√S≥3√P+3√Q。 [3√S表示S开三次方] 证明 设∠AMN=α,∠BNM=β。
  则 2P=AM*LM*sinα, 2Q=BN*LN*sinβ。 在△CMN中,由正弦定理得:CM/CN=sinβ/sinα。 ∴P/Q=AM*LM*sinα/BN*LN*sinβ=AM*LM*CN/BN*LN*CM。
   记AM/MC=x^3,CN/NB=y^3,ML/NL=z^3。 ∴P=(xyz)^3*Q。 ∵2S=AC*BC*sinC=(AM+CM)*(BN+CN)sin(α+β), MN/CM=sinC/sinβ ∴S/Q=(AM+CM)*(BN+CN)sinC/BN*LN*sinβ =(AM+CM)*(BN+CN)*MN/BN*LN*CM =(x^3+1)*(y^3+1)*(z^3+1)。
   ∴S=(x^3+1)*(y^3+1)*(z^3+1)Q。 因此所证不等式等价于 [(x^3+1)*(y^3+1)*(z^3+1)]^(1/3)≥xyz+1 (1) (x^3+1)*(y^3+1)*(z^3+1)≥(xyz+1)^3 ∑x^3+∑(yz)^3≥3(xyz)^2+3xyz (2) ∵∑x^3≥3xyz ,∑(yz)^3≥3(xyz)^2 故(2)式成立。
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