一道函数综合题在平面直角坐标系中
在平面直角坐标系中,二次函数y=x^2+bx+c的图像于x轴交与A,B。A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0)于y轴交于点C(0。-3),点P是直线BC下方抛物线中的一个动点。
1。连接PO,PC,并把△POC沿OC翻折,得到四边形POP,c,那么是否存在点P,使 四边形POP,C为菱形,求出点P的坐标。
点B(3,0),点C(0,-3)在抛物线y=x^2+bx+c上,则将两点坐标代入有:
9+3b+c=0
0+0+c=-3
解得,b=-2,c=-3
所以抛物线为:y=x^2-2x-3
由y=x^2-2x-3=0 ===> (x-3)(x+1)=0 ===> x1=-1,x2=3
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在平面直角坐标系中,二次函数y=x^2+bx+c的图像于x轴交与A,B。A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0)于y轴交于点C(0。-3),点P是直线BC下方抛物线中的一个动点。
1。连接PO,PC,并把△POC沿OC翻折,得到四边形POP,c,那么是否存在点P,使 四边形POP,C为菱形,求出点P的坐标。
点B(3,0),点C(0,-3)在抛物线y=x^2+bx+c上,则将两点坐标代入有:
9+3b+c=0
0+0+c=-3
解得,b=-2,c=-3
所以抛物线为:y=x^2-2x-3
由y=x^2-2x-3=0 ===> (x-3)(x+1)=0 ===> x1=-1,x2=3
所以,点A(-1,0)
且对称轴为x=1
因为翻折之后得到POP'C,那么点P、P'关于OC即y轴对称
所以,PP'⊥y轴
连接PP',设其与y轴的交点为E
因为POP'C为菱形,所以PO=PC
又,PE⊥OC
所以,点E为OC中点
那么,点E(0,-3/2)
所以,点P的纵坐标也是-3/2
而点P在抛物线y=x^2-2x-3上,所以:x^2-2x-3=(-3/2)
===> x^2-2x-(3/2)=0
===> 2x^2-4x-3=0
===> x=[4±√(16+24)]/4
因为点P在y轴右侧,所以x>0
即,x=(4+2√10)/4=(2+√10)/2
所以,点P((2+√10)/2,-3/2)
2。
但点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积。
因为点P在抛物线上B、C之间,则其横坐标满足:0<x<3
不妨设点P(a,b)(0<a<3,b<0)
过点P作x轴的垂线,垂足为F,那么F(a,0)
那么:
Rt△AOC的面积S1=(1/2)AO*OC=(1/2)*1*3=3/2
直角梯形PCOF的面积S2=(1/2)(PF+OC)*OF=(1/2)*(-b+3)*a=(1/2)(3a-ab)
Rt△BFP的面积S3=(1/2)BF*PF=(1/2)(3-a)*(-b)=(1/2)(ab-3b)
所以,四边形ABPC的面积S=S1+S2+S3=(3/2)+(1/2)(3a-ab)+(1/2)(ab-3b)
=(1/2)*(3+3a-ab+ab-3b)
=(1/2)*(3+3a-3b)
=(3/2)*(a-b+1)………………………………………………(1)
因为点P(a,b)在抛物线y=x^2-2x-3上,所以:a^2-2a-3=b
代入(1)得到:S=(3/2)*[a-(a^2-2a-3)+1]
=(3/2)*(-a^2+3a+4)
=(-3/2)*(a^2-3a-4)
=(-3/2)*[a^2-3a+(9/4)-(25/4)]
=(-3/2)*[a-(3/2)]^2+(75/8)
则,当a=3/2时,S有最大值75/8
此时,b=a^2-2a-3=(3/2)^2-3-3=(9/4)-6=-15/4
即,点P(3/2,-15/4),面积最大值为75/8。收起