完全有界的定义到底是怎样?看到两
其实,我觉得老师的一句话就是问题的重点所在了,呵呵。
第一种定义显然更具一般性,它包含了2的情形;另外,我们可以证明,在这两种定一下的“完全有界集”是等价的。
证明:1=>2: 取E为A的子集即可,根据1的定义,显然。
2=>1:假设E是1定义下的A的ε网,A是2定义下的全有界集,这里E不一定是A的子集,我们不妨设不是A的子集,是的话,问题显然;不过我们可以做如下的处理,证明A也是1定义下的全有界集。
因为E为A的ε网,任意x∈E,如果存在开球O(x,ε)不覆盖任何A的点,那么我们去掉这个开球。不妨假设我们留下的都覆盖了A中的点。因为我们假设了E不是A的子集,所以存在开球O(y,ε...全部
其实,我觉得老师的一句话就是问题的重点所在了,呵呵。
第一种定义显然更具一般性,它包含了2的情形;另外,我们可以证明,在这两种定一下的“完全有界集”是等价的。
证明:1=>2: 取E为A的子集即可,根据1的定义,显然。
2=>1:假设E是1定义下的A的ε网,A是2定义下的全有界集,这里E不一定是A的子集,我们不妨设不是A的子集,是的话,问题显然;不过我们可以做如下的处理,证明A也是1定义下的全有界集。
因为E为A的ε网,任意x∈E,如果存在开球O(x,ε)不覆盖任何A的点,那么我们去掉这个开球。不妨假设我们留下的都覆盖了A中的点。因为我们假设了E不是A的子集,所以存在开球O(y,ε)覆盖了A中的点,但是,y∉A。
我们做个诡异的处理,把这样的y放到集合A中,也就是说我们把原来的集合A扩充了,包含了更多的元素,组合了一个新的集合A。
新的集合A有如下的性质,A(新)仍然被E的ε网覆盖,最早的A被覆盖了,而我们添加的元素y都不过是ε开球的中心而已,还在那些ε网中。
另外,根据上面的定义,现在覆盖A(新)的开球的中心都仍然在A(新)中。这样,E是2定义下一个ε网,另外,A是定义2中的全有界集,所以,我们可以找到有限个开球覆盖A(新)。这样,我们在E的ε网中,自然找到了有限个覆盖原先的集合A了。
问题得证!。收起