1 两焦点F1 F2和椭圆上一焦点P组成的三角形，角F1PF2为什么是P在短轴顶点时最大，给出证明
2 过焦点F1作的椭圆的弦和椭圆的两焦点为A，B，三角形ABF2的面积什么时候最大 为什么
1 两焦点F1 F2和椭圆上一焦点P组成的三角形，角F1PF2为什么是P在短轴顶点时最大，
证明： 不妨设：x＾/a＾+y＾/b＾=1
F1（-c，0） F2（c，0）
在三角形F1PF2中：
F1F2＾=PF1＾+PF2＾-2PF1PF2cos∠F1PF2
=（PF1+PF2）＾-2PF1PF2-2PF1PF2cos∠F1PF2
=4a＾-2PF1PF2（1+cos∠F1PF2）=4c＾
PF1PF2=[2（a＾-c＾）]/（1+cos∠F1PF2）
∵PF1+PF2=2a=定值 且PF1＞0 PF2＞0
∴PF1PF2≤（PF1+PF2）＾/4=a＾
当且仅当PF1=...全部
1 两焦点F1 F2和椭圆上一焦点P组成的三角形，角F1PF2为什么是P在短轴顶点时最大，
证明： 不妨设：x＾/a＾+y＾/b＾=1
F1（-c，0） F2（c，0）
在三角形F1PF2中：
F1F2＾=PF1＾+PF2＾-2PF1PF2cos∠F1PF2
=（PF1+PF2）＾-2PF1PF2-2PF1PF2cos∠F1PF2
=4a＾-2PF1PF2（1+cos∠F1PF2）=4c＾
PF1PF2=[2（a＾-c＾）]/（1+cos∠F1PF2）
∵PF1+PF2=2a=定值 且PF1＞0 PF2＞0
∴PF1PF2≤（PF1+PF2）＾/4=a＾
当且仅当PF1=PF2（P在短轴顶点时）时，[PF1PF2]max=a＾
∴2（a＾-c＾）]/（1+cos∠F1PF2）≤a＾
1+cos∠F1PF2＞0
cos∠F1PF2≥[2（a＾-c＾）]/a＾]-1
∠F1PF2∈（0，π）
在定义域内，cos∠F1PF2单调递减。
∴当P在短轴顶点时，cos∠F1PF2取得最小值，∠F1PF2取得最大值。
2 过焦点F1作的椭圆的弦和椭圆的两交点为A，B，三角形ABF2的面积什么时候最大 为什么
解：不妨设：x＾/a＾+y＾/b＾=1
F2（-c，0） F1（c，0）
A（x1，y1），B（x2，y2）
Lab： y=k（x-c）
（bx）＾+（ay）＾=（ab）＾
[b＾+（ka）＾]x＾-2cx（ak）＾+（akc）＾-（ab）＾=0
x1+x2=2c（ak）＾/[b＾+（ka）＾]
x1x2=[（akc）＾-（ab）＾]/[b＾+（ka）＾]
|AB|=√{（1+k＾）[（x1+x2）＾-4x1x2]}
=（2ab＾）（1+k＾）/[b＾+（ka）＾]
点F2到直线Lab距离d=2|ck|/√（1+k＾）
三角形ABF2的面积S=（1/2）×d×|AB|
=（ab＾）√[（1+k＾）]/[b＾+（ka）＾]
=（ab＾）√[1+（1/k）＾]/[（b/k）＾+a＾]
1/k=0时，S最大
此时AB⊥X轴。
。收起
