数学上三角形的欧拉定理如何证明?
欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V F-E=2这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。证明方法：方法1：（利用几何画板）逐步减少多面体的棱数,分析V F-E先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V F1-E=1（1）去掉一条棱,就减少一个面,V F1-E不变。 依次去掉所有的面,变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V F1-E不变,直至只剩下一条棱。以上过程V ...全部
欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V F-E=2这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。证明方法：方法1：（利用几何画板）逐步减少多面体的棱数,分析V F-E先以简单的四面体ABCD为例分析证法。
去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V F1-E=1（1）去掉一条棱,就减少一个面,V F1-E不变。
依次去掉所有的面,变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V F1-E不变,直至只剩下一条棱。以上过程V F1-E不变,V F1-E=1,所以加上去掉的一个面,V F-E =2。
对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V,面数F,棱数E。剪掉一个面,使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α一方面,在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为：∑α = [(n1-2)·1800 (n2-2)·1800 … (nF-2) ·1800]= (n1 n2 … nF -2F) ·1800=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）另一方面,在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·1800,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。
所以,多面体各面的内角总和：∑α = (V-n)·3600 (n-2)·1800 (n-2)·1800=（V-2）·3600。（2）由(1)(2)得：(E-F) ·3600 =（V-2）·3600 所以 V F-E=2。
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