关于域的问题请问是否凡域（如复数域实数
从特征来分，特征为零的域一定包含有理数域Q，特征p>0(p为素数)的域则一定包含p元域F(p)。这些最基本的域称为素域。一个域一定是某个素域上的线性空间。一般来说，如果域K包含于域L,则称K为L的一个子域，而称L为K的一个扩域或扩张。 L作为K上线性空间的维数称为这个扩张的次数，记为[L：K]。如果L中元素u是系数在K中的多项式方程的根，则称u在K上是代数的，否则称u在K上是超越的。如果L中所有元素在K上都是代数的，则称L为K的一个代数扩张，或者说L在K上是代数的。 否则说L是K的一个超越扩张，或L在K上是超越的。实数域R和复数域C都是有理数域Q的扩张。复数域C则是实数域R的扩张。在Q...全部
从特征来分，特征为零的域一定包含有理数域Q，特征p>0(p为素数)的域则一定包含p元域F(p)。这些最基本的域称为素域。一个域一定是某个素域上的线性空间。一般来说，如果域K包含于域L,则称K为L的一个子域，而称L为K的一个扩域或扩张。
L作为K上线性空间的维数称为这个扩张的次数，记为[L：K]。如果L中元素u是系数在K中的多项式方程的根，则称u在K上是代数的，否则称u在K上是超越的。如果L中所有元素在K上都是代数的，则称L为K的一个代数扩张，或者说L在K上是代数的。
否则说L是K的一个超越扩张，或L在K上是超越的。实数域R和复数域C都是有理数域Q的扩张。复数域C则是实数域R的扩张。在Q上代数的数称为代数数，否则称为超越数。R在Q上是超越的，虽然这不那么显然。
要说明这一点，一个办法是举出实超越数的例子，另一个办法是从集合的势来考虑。我们知道圆周率π和自然对数的底e都是超越数，但是证明都不容易。第一个被证明是超越数的实数是所谓的Liouville（柳维耶，法国数学家）数。
e和π的超越性则在后来分别由Hermite和Lindemann证明。用集合的势来考虑，则是证明代数数的集合是可数的，而实数的集合则不可数。这就表明实数中存在不是代数数的数，也就是超越数。这同时也说明了超越数是不可数的，或者说“几乎所有”的实数都是超越数。
可是这对找出具体的超越数并无益处。反过来，C在R上的扩张次数为2。当然是代数的。不仅如此，C还是代数封闭的，即C的代数扩张一定是C自己。换言之，系数在C中的多项式的根一定也在C中。或者说，复系数的多项式方程一定有复数解。
这就是著名的代数基本定理。域的扩张可以用群来描述，这就是所谓的Galois理论。域论是代数几何与代数数论的基础。
现在来看开始的问题。从前面的叙述，我们知道复数域是代数封闭的。但是它可以有超越扩张。
比如可以把x添加到C上，形成系数在C中的一元有理函数域C(x)。这个域的元素当然不见得是数，一般说来是一个有理函数。当然还可以继续添加y,z等等，形成C上的多元有理函数域C(x,y,z)。如果从F(p)出发来作域扩张，则可以得到各种有限和无限的域，其特征都是p>0。
它们的元素当然未必是数。
至于域的元素本身，则谈不上有“维数”。或者你说的是另一个意思。有兴趣可以自己去看书。收起
