已知在直线坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-√3，0），且在顶点为D（2，0）
已知在直线坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-√3，0），且在顶点为D（2，0），设点A为（1，1/2）
1求该椭圆的标准方程
椭圆存在左右焦点，且中心在原点，其标准方程可以设为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）
已知顶点D(2,0)，则：a=2
又，左焦点为F(-√3,0)，则：c=√3
所以在椭圆中，b^2=a^2-c^2=4-3=1
则椭圆的标准方程为：(x^2/4)+(y^2/1)=1
2若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程
由前面知椭圆方程为(x^2/4)+y^2=1
点P为其上一点，那么不妨设为：P(2cosθ,sinθ)
已知点A...全部
已知在直线坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-√3，0），且在顶点为D（2，0），设点A为（1，1/2）
1求该椭圆的标准方程
椭圆存在左右焦点，且中心在原点，其标准方程可以设为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）
已知顶点D(2,0)，则：a=2
又，左焦点为F(-√3,0)，则：c=√3
所以在椭圆中，b^2=a^2-c^2=4-3=1
则椭圆的标准方程为：(x^2/4)+(y^2/1)=1
2若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程
由前面知椭圆方程为(x^2/4)+y^2=1
点P为其上一点，那么不妨设为：P(2cosθ,sinθ)
已知点A(1,1/2)
则PA中点的横坐标为：x=(2cosθ+1)/2
===> 2cosθ+1=2x
===> cosθ=(2x-1)/2
PA中点的纵坐标为：y=(sinθ+1/2)/2
===> sinθ=2y-(1/2)
所以：sin^2 θ+cos^2 θ=[2y-(1/2)]^2+[(2x-1)/2]^2=1
3过原点o的直线交椭圆于点B，C，求三角形ABC面积的最大值
①当过原点O的直线斜率不存在时（即y轴），此时直线与椭圆的交点就是椭圆的上下顶点(0,1)、(0,-1)
则，BC=1-(-1)=2
那么，S△ABC=(1/2)*BC*|Xa|【Xa为A点横坐标】
=(1/2)*2*1
1
②当过原点0的直线斜率存在时，不妨设其为y=kx
联立直线与椭圆方程有：x^2/4+(kx)^2=1
===> x^2+4k^2x^2-4=0
===> (4k^2+1)x^2-4=0
所以：x1+x2=0，x1*x2=-4/(4k^2+1)
则：(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=0-4*[-4/(4k^2+1)]=16/(4k^2+1)
又，y1=kx1，y2=kx2
所以，(y1-y2)^2=(kx1-kx2)^2=k^2*(x1-x2)^2
那么，BC=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=√[(x1-x2)^2+k^2*(x1-x2)^2]
=√[(k^2+1)*(x1-x2)^2]
=√(k^2+1)*4/√(4k^2+1)
又，点A(1,1/2)到直线kx-y=0的距离（即BC边上的高）是
d=|k-(1/2)|/√(k^2+1)
所以，S△ABC=(1/2)BC*d
=(1/2)*[4√(k^2+1)/√(4k^2+1)]*[|k-(1/2)|/√(k^2+1)]
=2|k-(1/2)|/√(4k^2+1)
=|2k-1|/√(4k^2+1)
则当k=0时（此时直线与椭圆焦点为左右顶点），S=1
且，S^2=(2k-1)^2/(4k^2+1)
=(4k^2+1-4k)/(4k^2+1)
=1-4*[k/(4k^2+1)]
=1+4*[(-k)/(4k^2+1)]………………………………………………（1）
上式中：当k≠0时，(-k)/(4k^2+1)=1/[(-4k)+(-1/k)]
由椭圆和直线的对称性，因为点A位于第一象限，那么当k＜0时点A到直线的距离较大一些
不妨设k＜0，那么-k＞0
那么，(-4k)+(-1/k)≥2√[(-4k)*(-1/k)]=2*2=4
【当且仅当-4k=-1/k，即k^2=1/4，即k=-1/2时取等号】
那么，(-k)/(4k^2+1)=1/[(-4k)+(-1/k)]≤1/4
代入(1)就有：S^2≤1+4*(1/4)=2
则，S≤√2
综上，△ABC的面积最大值为√2。
收起
