“十一”了，出道问题简单但很难简
先给出一个Va=Vb或Va与Vb相差微小以至于T时间内不会出现同向相遇的情况，此时可用下列方法：
设n次相遇所用的时间为tn，则：
第1次相遇，两人共走了S米，则t1=S/(Va+Vb)
第2次相遇，两人共走了S+2S=3S米,则t2=3S/(Va+Vb)
第3次相遇，两人共走了3S+2S=5S米,则t3=5S/(Va+Vb)
。 。。。。。
第n次相遇，两人共走了(2n-1)S米,则tn=(2n-1)S/(Va+Vb)
则n=(Va+Vb)tn/(2S)+1/2
那么在T分钟内，相遇次数：
n=(Va+Vb)T/(2S)+1/2的整数部分。
（当Va与Vb相差很大（如一个光速，一个...全部
先给出一个Va=Vb或Va与Vb相差微小以至于T时间内不会出现同向相遇的情况，此时可用下列方法：
设n次相遇所用的时间为tn，则：
第1次相遇，两人共走了S米，则t1=S/(Va+Vb)
第2次相遇，两人共走了S+2S=3S米,则t2=3S/(Va+Vb)
第3次相遇，两人共走了3S+2S=5S米,则t3=5S/(Va+Vb)
。
。。。。。
第n次相遇，两人共走了(2n-1)S米,则tn=(2n-1)S/(Va+Vb)
则n=(Va+Vb)tn/(2S)+1/2
那么在T分钟内，相遇次数：
n=(Va+Vb)T/(2S)+1/2的整数部分。
（当Va与Vb相差很大（如一个光速，一个蜗牛速度）时，将会出现更多的同向运动相遇情况，上法不适用，正在考虑如何建模。。。）
现构造这样一个模型：
以AB为直径做一个圆，以圆心为原点，AB所在直线为x轴做直角坐标系XOY，取A在左边，B在右边，假设a、b两人在圆弧上逆时针方向行走，这样当两人在某一时间所在位置的x坐标相等时，即为相遇，则：
圆的周长=2S，半径=S/pi
取开始运动时间t0=0
a、b两人的初始角位移：a0=pi，b0=0
a、b两人的初始x坐标：xa0=-S/pi，xb0=S/pi
a、b两人的线速度：Va、Vb，不失一般性，设Va>=Vb
a、b两人的角位移：a=pi+Va*t/(S/pi)=pi+Va*t*pi/S，b=Vb*t/(S/pi)=Vb*t*pi/S
a、b两人的x坐标：xa=(S/pi)*cosa，xb=(S/pi)*cosb
相遇条件：xa-xb=0，则：
(S/pi)*cosa-(S/pi)*cosb=0
cosa-cosb=0
-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)=0
则：a+b=2k1*pi 或a-b=2k2*pi (k1、k2均为自然数）
pi+Va*t*pi/S+Vb*t*pi/S=2k1*pi 或pi+Va*t*pi/S-Vb*t*pi/S=2k2*pi
故k1=(Va+Vb)*t/(2S)+1/2
k2=(Va-Vb)*t/(2S)+1/2 (Va>=Vb)
则对于某确定时间T分钟：
k1(T)=【(Va+Vb)*T/(2S)+1/2】 （【】表示括号中数的整数部分，下同）；
k2(T)=【(Va-Vb)*T/(2S)+1/2】；
总相遇次数k(T)=k1(T)+k2(T)。
（题中k1代表逆向相遇次数，k2代表同向相遇次数。显然Va=Vb时，k2=0）
上述的计算中，当同向相遇与逆向相遇同时发生时，被各自算做了1次，共算了2次，如要从中剔除1次，则方法如下：
同向相遇与逆向相遇同时发生的情形：
a+b=2k1*pi且a-b=2k2*pi (k1、k2代表出现次数)
则a=(k1+k2)pi=ka*pi， b=(k1-k2)pi=kb*pi，即发生在A、B两端点的相遇。
a、b两人经过A、B两端点的时间分别为：
A点：tAa=(2kAa-2)*S/Va， tAb=S/Vb+(kAb-1)*2S/Vb=(2kAb-1)*S/Vb
B点：tBa=(2kBa-1)*S/Va， tBb=(2kBb-2)*S/Vb
(kAa、kAb、kBa、kBb分别为a、b两人经过A、B的次数)
在A点相遇时：tAa=tAb， (2kAa-2)*S/Va=(2kAb-1)*S/Vb
则(2kAa-2)：(2kAb-1)=Va：Vb=p：q (p、q均为正整数，q与p互质或=1) (按题意Va、Vb应为有理数，可以找到p、q)
因(2kAa-2)为偶数，(2kAb-1)为奇数，故必须p=2*p1 (p1为正整数)，否则不会出现在A点相遇的情况，若p=2*p1,则第一次在A点相遇时：
(2kAa1-2)=p， tAa1=p*S/Va
与第一次不同，从第二次开始，每次相遇都是在同一点出发，再相遇到同一点，则每次相遇间隔时间：
△tAa=△kAa*2S/Va， △tAb=△kAb*2S/Vb (△kAa、△kAb为上次相遇后所走的来回次数）
相遇条件：△tAa=△tAb， △kAa*2S/Va=△kAb*2S/Vb
则：△kAa：△kAb=Va：Vb=p:q
则第一次相遇后的每次相遇间隔次数△kAa=p，间隔时间△tAa=2p*S/Va
则T分钟内在A点相遇的次数为：k3A(T)=【(T-tAa1)/△tAa+1】=【T*Va/(2p*S)+1/2】
在B点相遇时：tBa=tBb， (2kBa-1)*S/Va=(2kBb-2)*S/Vb
则：(2kBa-1)：(2kBb-2)=Va：Vb=p:q (p、q均为正整数，q与p互质或=1)
同理，此时要求：q=2*q1 (q1为正整数)，否则不会出现在B点相遇的情况，若q=2*q1，则第一次在B点相遇时：
2kBa1-1=p， tBa1=p*S/Va
第一次以后的相遇情况同上讨论的A点情况一样：△tBa=2p*S/Va
则T分钟内在B点相遇的次数为：k3B(T)=【(T-tBa1)/△tBa)+1】=【(T*Va/(2p*S)+1/2】
因此，对于Va：Vb=p：q (p与q为互质正整数或q=1)：
当p不=2*p1且q不=2*q1时，T分钟内同时发生同向相遇与逆向相遇的次数为：k3(T)=0
否则(即p=2*p1或q=2*q1)，k3(T)=【(T*Va/(2p*S)+1/2】
上述两种情况可以理解为((p+q) mod2)=0或1 ((p+q) mod2：为p+q的值除以2的余数)，则k3(T)=【(T*Va/(2p*S)+1/2】*((p+q) mod2)
则总相遇次数：
k(T)=k1(T)+k2(T)-k3(T)
=【(Va+Vb)*T/(2S)+1/2】+【(Va-Vb)*T/(2S)+1/2】-【(T*Va/(2p*S)+1/2】*((p+q) mod2)
(Va>=Vb，Va：Vb=p：q， p与q为互质正整数或q=1)
。
收起
