导数综合练习31.曲线y=x/（
1。
因为y=x/(2x-1)
所以，y'=[(2x-1)-x*2]/(2x-1)^2=-1/(2x-1)^2
则，y'(1)=-1
所以，切线方程为：y-1=-1*(x-1)=-x+1
即，x+y-2=0。
2。
没有图，无法做！
3。
已知y=ax^2+(a^2+1)x
则，y'=2ax+(a^2+1)
所以，y'(1)=2a+a^2+1=(a+1)^2=1
所以，a=0（舍去，因为二次函数的二次项系数不为零），a=-2
所以，y=-2x^2+5x=-2*[x^2-(5/2)x+(25/4)]+(25/8)
=-2*[x-(5/4)]^2+(25/8)
所以，当x=5/4时，y有最...全部
1。
因为y=x/(2x-1)
所以，y'=[(2x-1)-x*2]/(2x-1)^2=-1/(2x-1)^2
则，y'(1)=-1
所以，切线方程为：y-1=-1*(x-1)=-x+1
即，x+y-2=0。
2。
没有图，无法做！
3。
已知y=ax^2+(a^2+1)x
则，y'=2ax+(a^2+1)
所以，y'(1)=2a+a^2+1=(a+1)^2=1
所以，a=0（舍去，因为二次函数的二次项系数不为零），a=-2
所以，y=-2x^2+5x=-2*[x^2-(5/2)x+(25/4)]+(25/8)
=-2*[x-(5/4)]^2+(25/8)
所以，当x=5/4时，y有最大值25/8。
4。
已知y=-x^3+2x
所以，y'=-3x^2+2
那么，y'(-1)=-3+2=-1
所以，在点(-1,-1)处切线的倾斜角为α=135°。
5。
已知y=x^3-x^2-x
则，y'=3x^2-2x-1=(3x+1)*(x-1)
则当y'=0时有：x1=-1/3，x2=1
所以，当x≤-1/2，或者x≥1时，y'＞0，此时函数y单调递增。
6。
已知f(x)=x^3+x^2+mx+1
所以，f'(x)=3x^2+2x+m
又已知f(x)在R上单调递增，则f'(x)在R上恒有f'(x)＞0
则，△=2^2-4*3*m＜0
===> 4-12m＜0
===> m＞1/3。
7。
f(x)在区间（-2/3,-1/3)内是【？？】函数？！
8。
没有图，无法解答！！！
9。
(1)
已知f(x)=ax^3+bx^2+cx
则，f'(x)=3ax^2+2bx+c
已知在x=±1时取得极值，那么f'(±1)=0，代入得到：
3a+2b+c=0…………………………………………………………（1）
3a-2b+c=0…………………………………………………………（2）
又，f(1)=-1
所以，a+b+c=-1…………………………………………………（3）
联立(1)(2)(3)解得：a=1/2，b=0，c=-3/2
（2）
由(1)得到，f'(x)=(3/2)x^2-(3/2)=(3/2)*(x^2-1)
则，f''(x)=3x
那么，f''(1)=3＞0，图像是下凹的，所以在x=1点取得极小值；
f''(-1)=-3＜0，图像是上凸的，所以在x=-1点取得极大值。
10。
已知f(x)=ax^3+cx+d为R上的奇函数，所以d=0
即，f(x)=ax^3+cx
则，f'(x)=3ax^2+c
已知在x=1时有极值-2
所以，f(1)=a+c=-2………………………………………………（1）
且，f'(1)=3a+c=0…………………………………………………（2）
联立(1)(2)得到：a=1，b=-3
所以，f(x)=x^3-3x，f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)
那么：
当x＞1或者x＜-1时，f'(x)＞0，函数单调递增；
当-1＜x＜1时，f'(x)＜0，函数单调递减；
所以，在x=-1时取得极大值=2；在x=1时取得极小值=-2。
11。
(I)求f(x)的单调减区间；
已知f(x)=2x^3-6x^2+m
则，f'(x)=6x^2-12x=6x*(x-2)
那么：
当x＜0，或者x＞2时，f'(x)＞0，函数单调递增；
当0＜x＜2时，f'(x)＜0，函数单调递减。
（II)
由(1)知，在[-2,0]上，f(x)单调递增
所以，当x∈[-2,0]时，f(x)有最大值f(0)=m，最小值f(-2)=-40+m
当x∈[0,2]时，f(x)单调递减
所以，当x∈[0,2]时，f(x)有最大值f(0)=m，最小值f(2)=m-8
所以，f(x)仍有最大值f(0)=m
所以，m=3
那么，当x∈[-2,2]时，f(x)有最小值=-40+m=-37。
12。
（I)
已知f(x)=x^3-3ax+b
则，f'(x)=3x^2-3a
已知在点(2,f(x))处于直线y=8相切
则，f(2)=8，且f'(2)=0
所以：
8-6a+b=8 ===> b=6a
12-3a=0 ===> a=4
所以，a=4，b=24。
（II)
由(1)得，f(x)=x^3-12x+24
所以，f'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x+2)(x-2)
所以：
当x＜-2，或者x＞2时，f'(x)＞0，函数单调递增；
当-2＜x＜2时，f'(x)＜0，函数单调递减。
所以：
f(x)有极大值f(-2)=-8+24+24=40；有极小值f(2)=8-24+24=8。
13。
（1）【应该是y=f(x)！！】过原点
已知f(x)=(a/3)x^3+bx^2+cx+d
所以，f'(x)=ax^2+2bx+c
当a=3时，f'(x)=3x^2+2bx+c
则，f'(x)-9x=0 ===> 3x^2+(2b-9)x+c=0
已知它的两根为1,4
所以：x1+x2=(9-2b)/3=1+4=5
===> 9-2b=3*5=15
===> b=-3
x1*x2=c/3=1*4=4
所以，c=12
又，f(x)经过原点，所以：f(0)=0
所以：d=0
则，f(x)=x^3+12x^2-3x
（2）
由(1)有：f'(x)=ax^2+2bx+c
且f'(x)-9x=ax^2+(2b-9)x+c=0的两根为1和4
所以：
x1+x2=(9-2b)/a=5 ===> 2b=9-5a
x1*x2=c/a=4 ===> c=4a
所以，f'(x)=ax^2+(9-5a)x+4a
已知f'(x)在R上无极值点，所以在R上，f'(x)与x轴无交点
已知a＞0
所以，△=(9-5a)^2-16a^2＜0
===> 81-90a+9a^2＜0
===> a^2-10a+9＜0
===> (a-1)(a-9)＜0
===> 1＜a＜9。
。收起
