高中数学题在以O为原点的直角坐标
在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点。已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于零。
⑴求向量→AB 的坐标。
⑵求圆x^2+y^2-6x+2y=0关于直线OB对称的圆的方程。
⑶是否存在实数a,使抛物线y=ax^2-1上总有关于直线OB对称的两个点?若不存在,说明理由;若存在,求a的取值范围。
解： 向量OA=（4，-3） |向量OA|=5
向量AB=（x-4，y+3） B（x，y） |向量AB|=2|OA|=10
OA⊥AB 向量OA·向量AB=4x-16-3y-9=0
4x-3y=25
|向量AB|=2|OA|=10=√[（x-4...全部
在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点。已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于零。
⑴求向量→AB 的坐标。
⑵求圆x^2+y^2-6x+2y=0关于直线OB对称的圆的方程。
⑶是否存在实数a,使抛物线y=ax^2-1上总有关于直线OB对称的两个点?若不存在,说明理由;若存在,求a的取值范围。
解： 向量OA=（4，-3） |向量OA|=5
向量AB=（x-4，y+3） B（x，y） |向量AB|=2|OA|=10
OA⊥AB 向量OA·向量AB=4x-16-3y-9=0
4x-3y=25
|向量AB|=2|OA|=10=√[（x-4）＾+（y+3）＾]
y＾+6y-55=0
y=5 y=-11（B的纵坐标大于零，舍）
∴y=5 x=10
向量AB=（10-4，5+3）=（6，8）
（2）
OB所在直线方程L： x-2y=0
圆x^2+y^2-6x+2y=0 （x-3）＾+（y+1）＾=10
圆心C（3，-1）关于x-2y=0对称点为C1（1，3）
∴圆C关于直线L对称的圆的方程： （x-1）＾+（y-3）＾=10
（3）显然a＞0 ∵如果a＜0，则抛物线开口向下，与L无交点。
设抛物线y=ax^2-1上存在关于直线OB对称的两个点A，B
则过AB的直线L1斜率k1=-2
L1： y=-2x+b
联立： y=-2x+b y=ax^2-1
ax＾+2x-1-b=0
x1+x2=-2/a
y1+y2=-2（x1+x2）+2b=（4/a）+2b
AB中点在x-2y=0上
-1/a-4/a-2b=0
b=-5/2a
∵L1与抛物线有两个交点
∴△=4+4a（1+b）＞0
1+a（1-5/2a）＞0
1+a-（5/2）＞0
a＞3/2
。
收起
