数学问题一个圆锥的母线长为1

一个圆锥的底面半径为R高为h，有n个球与圆锥底面和圆锥母线都相切，这球的半径为多少？

如图所示，圆锥轴截面图，△ABC，圆O是球截面的大圆，D、E、F是切点，AD是△ABC的高，OD=OE=OF=r,设AD=x,AO=x-r,AF=√（AO^2-OF^2）=√[（x-r）^2-r^2]=√(x^2-2rx),∵〈AFO=〈ADB=90°，〈FAO=〈DAB（公用角），∴△AOF∽ABD，∴OF/BD=AF/AD，r/BD=√(x^2-2rx)/x,BD=rx/√(x^2-2rx)，∵BF=BD，∴AB=AF BD=√(x^2-2rx) ?rx/√(x^2-2rx)=(x^2-rx)/√(x^2-2rx),全面积S=S侧 S底=2π*BD*AB/2 πBD^2=2πr[x/√...全部

  如图所示，圆锥轴截面图，△ABC，圆O是球截面的大圆，D、E、F是切点，AD是△ABC的高，OD=OE=OF=r,设AD=x,AO=x-r,AF=√（AO^2-OF^2）=√[（x-r）^2-r^2]=√(x^2-2rx),∵〈AFO=〈ADB=90°，〈FAO=〈DAB（公用角），∴△AOF∽ABD，∴OF/BD=AF/AD，r/BD=√(x^2-2rx)/x,BD=rx/√(x^2-2rx)，∵BF=BD，∴AB=AF BD=√(x^2-2rx) ?rx/√(x^2-2rx)=(x^2-rx)/√(x^2-2rx),全面积S=S侧 S底=2π*BD*AB/2 πBD^2=2πr[x/√(x^2-2rx)*?][(x^2-rx)/√(x^2-2rx)]/2 π[rx/√(x^2-2rx)]^2=πrx^3/(x^2-2rx),dS/dx=[3πrx^2(x^2-2rx)-(2x-2r)*?πrx^3]/(x^2-2rx)^2=πrx^3(x-4r)/(x^2-2rx)^2。
  令dS/dx=0,则x=4r,当0〈x＜4r时，s’＜0,函数单调递减，当x＞4r时s’＞0,?函数单调递增，所以x=4r是极小值点，S（min）=π*r*(4r)^3/[(4r)^2-2r*4r]=8πr^2,∴圆锥全面积的最小值为8πr^2。
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