一个三角不等式

锐角三角形的一个不等式设a,b,

设a,b,c是锐角三角形ABC的三边长,R,r是其外接与内切圆的半径。 试证 abc/√[2(b^2+c^2)(c^2+a^2)(a^2+b^2)]>=r/(2R) 原来如此，在锐角三角形的限制之下，所给的不等式有着一个中学生可以接受的证明。 证明 由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 得 abc/√[2(b^2+c^2)(c^2+a^2)(a^2+b^2)] =sinAsinBsinC/√{2[(sinB)^2+(sinC)^2][(sinC)^2+(sinA)^2][(sinA)^2+(sinB)^2]} =sinAsinBsinC/√{2[1-(cos2B+...全部

  设a,b,c是锐角三角形ABC的三边长,R,r是其外接与内切圆的半径。 试证 abc/√[2(b^2+c^2)(c^2+a^2)(a^2+b^2)]>=r/(2R) 原来如此，在锐角三角形的限制之下，所给的不等式有着一个中学生可以接受的证明。
   证明 由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 得 abc/√[2(b^2+c^2)(c^2+a^2)(a^2+b^2)] =sinAsinBsinC/√{2[(sinB)^2+(sinC)^2][(sinC)^2+(sinA)^2][(sinA)^2+(sinB)^2]} =sinAsinBsinC/√{2[1-(cos2B+cos2C)/2][1-(cos2C+cos2A)/2][1-(cos2A+cos2B)/2]} =sinAsinBsinC/√{2[1-(cos(B+C)cos(B-C)][1-cos(C+A)cos(C-A)][1-cos(A+B)cos(A-B)]} =sinAsinBsinC/√{2[1+cosAcos(B-C)][1+cosBcos(C-A)][1+cosCcos(A-B)]} >=sinAsinBsinC/√[2[1+cosA)(1+cosB)(1+cosC)] =sinAsinBsinC/[4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)] =2sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) =r/(2R)。
   注记：熟知恒等式sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=r/(4R)的证明。
   因为 2[sin(A/2)]^2=2-2[cos(A/2)]^2=1-cosA=1-(b^2+c^2-a^2)/(2bc) =[a^2-(b-c)^2]/(2bc)=(a+b-c)(a-b+c)/(2bc) =2(s-b)(s-c)/(bc),(其中s=(a+b+c)/2) 所以 sin(A/2)=√[(s-b)(s-c)/(bc)], 同理 sin(B/2)=√[(s-c)(s-a)/(ca)],sin(C/2)=√[(s-a)(s-b)/(ab)], 于是 sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=(s-a)(s-b)(s-c)/(abc) (1) 由海伦公式：S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]及恒等式：S=rs,abc=4RS,得 (s-a)(s-b)(s-c)/(abc)=s(s-a)(s-b)(s-c)/(abcs) =S^2/(4RSs)=S/(4Rs)=rs/(4Rs)=r/(4R), (2) 由(1),(2)即得 sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=r/(4R)。收起