游戏难题一条直线上有连续的n个小
数学归纳法
n=1时先拿的输。
n=2或3时,先拿的取1或2个,把问题化为n=1,先拿的赢。
n=4或1+3(表示3个连续,与1个分开)或2+2时若先拿的取1个,则后拿的取2个;若先拿的取2个,则后拿的取1个,都可把问题化为n=1。 先拿的输。
n=5或6时,先拿的可取前面的1或2个,把问题化为n=4,先拿的赢。
n=7时若先拿的取1个,则后拿的取2个;若先拿的取2个,则后拿的取1个,都可把问题化为n=4或1+3或2+2。 先拿的输。
假设n=3k-2(k∈N+)时先拿的输,n=3k-1或n=3k时先拿的赢。那么,n=3(k+1)-2时,若先拿的取1个,则后拿的取2个;若先拿的取2个,...全部
数学归纳法
n=1时先拿的输。
n=2或3时,先拿的取1或2个,把问题化为n=1,先拿的赢。
n=4或1+3(表示3个连续,与1个分开)或2+2时若先拿的取1个,则后拿的取2个;若先拿的取2个,则后拿的取1个,都可把问题化为n=1。
先拿的输。
n=5或6时,先拿的可取前面的1或2个,把问题化为n=4,先拿的赢。
n=7时若先拿的取1个,则后拿的取2个;若先拿的取2个,则后拿的取1个,都可把问题化为n=4或1+3或2+2。
先拿的输。
假设n=3k-2(k∈N+)时先拿的输,n=3k-1或n=3k时先拿的赢。那么,n=3(k+1)-2时,若先拿的取1个,则后拿的取2个;若先拿的取2个,则后拿的取1个,都可把问题化为n=3k-2。
先拿的输。
n=3(k+1)-1,或n=3(k+1)时先拿的可取前面的1或2个,把问题化为n=3(k+1)-2,先拿的赢。
综上,n=3k-2(k∈N+)时先拿的输,n=3k-1或n=3k时先拿的赢。
或答案:
n为3k+1时先拿的输,n为[3k+2,3k+3,]时,先拿的赢!(k为自然数0,1,2,3,。。。。。
)
证明: (叙述较繁,请耐心看我的补充)
先拿输的各个形式:
1,
4,[包括1,3;2,2;]
7,如取1,成3,3,对方取成1,3,
所以,
1)把n分成3个同余类:3k,3k+1,3k+2,
2)当先拿时,n=3k+1,
如果在端点取,对手也在端点取,总能使n保持在3k+1的同余类中,
数量减少,最后剩1个 ,先取者输!
如果在中间拿,即把球分成两部,
a)取一个,
a1)成3k,3k,
对方取成3k,3k+1,在3k这一类,如双方在这一类中取球,可以得出,在对方取后,这一堆成零!所以,可以把3k形式,看做0,
这样,又回归到3k+1形式,最终剩1个 ,先取者输!
a2)成3k+1,3k+2,
对方取成3k,3k+1,
这样,又回归到3k+1形式,最终剩1个 ,先取者输!
b)取二个,
b1)成3k+1,3k+1,
对方取成3k,3k+1,
这样,又回归到3k+1形式,最终剩1个 ,先取者输!
b2)成3k,3k+2,
对方取成3k,3k+1,
这样,又回归到3k+1形式,最终剩1个 ,先取者输!
所以,只要n=3k+1,经先拿的拿后,对手总能拿成3k,3k+1,的形式,逐步k=0,剩1,先拿者输!(两方法均可)。收起