对称 对称问题
解:
Ⅰ,
设动点P(x1,y1)在y=f(x-2)在,把x1,y1代入y=f(x-2)有,y1=f(x1-2)。。。。。。(1)设动点Q(x2,y2)与P(x1,y1)关于直线x=2对称,根据中点坐标公式则有下面等式,
( x1+x2)/2=2,即,x2=4-x1,切还有y2=y1因为2点关于x=2对称),
把x2=4-x1,y2=y1代入y=f(2-x),左边=y1,右边=f[2-(4-x1)]=f(x1-2)=y1(根据(1)得来),左边=右边,这说明x2,y2满足y=f(x-2)也就是点Q在y=f(2-x)上,也就是在y=f(x-2)的任何一点P总能在y=f(2-x)找到相应的点Q满足P与Q关于直线x
=2对称。
用同样方法可证,对于y=f(2-x)上的任何一点Q在y=f(x-2)可以找到相应的点P,满足P,Q关于直线x=2对称。
上述说明y=f(x-2)和y=f(2-x)关于直线x=2对称。
Ⅱ,
如果是f(x-2)=f(2-x)，那么y=f(x)的图象关于哪条直线对称？
用x+2替换f(x-2)=f(2-x)中的x有f(x+2-2)=f(2-(x+2),即,f(x)=f(-x),这说明f(x)是偶函数,f(x)关于y轴对称,也就是x=0对称。
注意,第一问是研究2个函数的图像的对称问题,第二问是研究一个函数自身图像的对称问题。
我想第二问是自己想出来的吧?
解答完毕!
另外给出下面2个对称公式,
f(x+a)=f(-x+b),a,b是常数,那么函数f(x)的图像自身关于直线x=(a+b)/2对称,
f(x+a)=-f(-x+b),a,b是常数,那么函数的图像自身关于点((a+b)/2,0)成中心对称。
再追加一个公式,
若f(x+a)=f(x+b),则函数f(x)的周期是|a-b|,其图像的对称性还不能判断,请不要和上面2个公式混淆。
还要提出注意的是第一题,必须证在y=f(x-2)的点总能在y=f(2-x)上找到相应点关于直线x=2对称,还要证在y=f(2-x)的点总能在y=f(x-2)找到相应的点关于直线x=2对称。
只证一方面是不够,2方面都要证,这才是"充分条件",也就是2个函数关于x=2对称的充分条件。
谢谢!!
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