高数证明题
不才孤陋寡闻,不知道除了泰勒公式外还有什么方法。
我有一个不用泰勒公式的方法:(只要一次分部积分,再用一下定积分的比较性质即可) ∫[0,1]f(x)dx=(x-1/2)f(x)?[0,1]-∫[0,1](x-1/2)f'(x)dx=∫[0,1](x-1/2)f'(x)dx |∫[0,1]f(x)dx|<=M?∫[0,1]?x-1/2?dx=(1/4)M
设u=x,v=f(x),则根据d(uv)=vdu+udv
∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]d(xf(x))-∫[0,1]xf'(x)dx
=[xf(x)]|[0,1]-∫[0,1]xf'(x)dx=∫[0,1]xf'(x)dx
利用积分第一中值定理:
|∫[0,1]f(x)dx|=|-∫[0,1]xf'(x)dx|
=|f'(x0)||∫[0,1]xdx|=|f'(x0)|/4 (其中x0属于[0,1])
记M=Max(0<=x<=1)|f'(x0)|
则|∫[0,1]f(x)dx|<=0。
25M。