一阶与二阶导数

设f(x)在【0,1】上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a,其二阶导数的绝对值小于等于b其中a,b都是非负常数，c是（0,1）内任意一点，证明f(x)的一阶导数的绝对值小于等于2a+b/2

按照上下文判断，题目似乎应改正为：“c是（0,1）内任意一点，证明f(x)在c点的一阶导数的绝对值小于等于2a+b/2．”否则，题目中的c在结论中没有出现，不够合理．请出题者再审核一下． 如果是上述那样，证明如下： 证： 对f(x)在点c的邻域进行Taylor展开 f(1)=f(c)+ f'(c)(1-c)+1/2 f"(d1)(1-c)^2， f(0)=f(c)+ f'(c)(0-c)+1/2 f"(d2)(0-c)^2， 其中d1为1与c之间的某点，d2为0与c之间的某点．两式相减得 f(1)-f(0)= f'(c)+1/2(f"(d1)(1-c)^2-f"(d2)(0-c)^2)， ...全部

  按照上下文判断，题目似乎应改正为：“c是（0,1）内任意一点，证明f(x)在c点的一阶导数的绝对值小于等于2a+b/2．”否则，题目中的c在结论中没有出现，不够合理．请出题者再审核一下． 如果是上述那样，证明如下： 证： 对f(x)在点c的邻域进行Taylor展开 f(1)=f(c)+ f'(c)(1-c)+1/2 f"(d1)(1-c)^2， f(0)=f(c)+ f'(c)(0-c)+1/2 f"(d2)(0-c)^2， 其中d1为1与c之间的某点，d2为0与c之间的某点．两式相减得 f(1)-f(0)= f'(c)+1/2(f"(d1)(1-c)^2-f"(d2)(0-c)^2)， 由此得 |f'(c)|=|f(1)-f(0)-1/2(f"(d1)(1-c)^2-f"(d2)(0-c)^2)| ≤|f(1)|+|f(0)|+1/2(|f"(d1)|(1-c)^2+|f"(d2)|(0-c)^2) ≤2a+1/2b((1-c)^2+(0-c)^2) ≤2a+b/2． 证毕． 。
  收起