一道数学题
函数f(x)=sin2x+kcos2x=√(1+k²)sin(2x+φ)的图像的对称轴由 2x+φ=nπ+(π/2)(其中tanφ=k)得x=[nπ+(π/2)-φ]/2=-π/6,φ=nπ+5π/6 tan(nπ+5π/6)=k, ∴ k=tan(5π/6)=-√3/3.
∵已知直线X=-π／6
∴直线与X轴的交点(-π／6,0)
那么，原点(0,0)关于直线X=-π／6的对称点就是(-2π／6,0)
∴把原点和对称点的横坐标分别代入函数式，那么它们的值相等
∴f(0)=f(-2π／6)
===＞f(0)=k；----------------------------①
f(-2π／6)=sin(-4π／6)+kcos(-4π／6)
∵sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα
∴f(-2π／6)=-sin(4π／6)+kcos(4π／6)
=-sin(π-π／3)+cos(π-π／3)
=-(√3／2)-k／2--------------------------②
①=②得：k=-
√3／3
。
。
[展开]
函数f(x)=sin2x+kcos2x的图像关于直线x=-π/6对称
f(x)=√(1+k^2) sin(2x+ψ),其中tanψ=k
而f(-π/6)=√(1+k^2) or f(-π/6)=√(1+k^2)
-√3/2+k/2=√(1+k^2) ①or -√3/2+k/2=-√(1+k^2) ②
由①②两边平方得(k-√3)^2=4+4k^2
3k^2+2√3k+1=0
k=-√3/3
。
由题意知道f(0)=f(-π/3),代入 f(0)=k f(-π/3)=负二分之根号三+负二分之一k 得k=负三分之根三
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