证明四面体欧拉不等式
设一四面体的外接球半径为R,内切球半径为r。求证:R≥3r 证 四面体各棱的中点构成一个小四面体,它与原四面积位似,位似中心为重心,相似比1:3。因此小四面体的外接球半径为R/3,这个外接球与原四面体的各面均有公共点(交点至少一个),所以它不小于原四位体的内切圆,即R≥3r。 不知这个证明行不行?
设一四面体的外接球半径为R,内切球半径为r。求证:R≥3r。
maxabc55的证明有点问题,我来改造一下。
证 以四面体四个面的重心为顶点构成一个小四面体,则这个小四面体与原四面体相似,且相似比为1:3。
因此小四面体的外接球半径为R/3,而这个小四面体的外接球与原四面体的各面均有公共点(交点至少一个),所以小四面体的外接球半径不小于原四面体的内切球半径,即R/3≥r,从而R≥3r。
注:关于"小四面体与原四面体相似,且相似比为1:3"的简要说明:
过四面体的三个侧面的重心的平面截三个侧面所得的三角形与底面三角形相似,且相似比为2:3;以三个侧面的重心为顶点的三角形是截面三
角形的中位线三角形,所以它们相似,且相似比为1:2。
于是可知,以三个侧面的重心为顶点的三角形与底面三角形相似,且相似比为(2:3)*(1:2)=1:3。 同理,小四面体另三个面与原四面体的三个相应侧面相似,且相似比为1:3。
因此,小四面体与原四面体相似,且相似比为1:3。
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1/5÷2/3=1/5×3/2=3/10小时