数列
an=a(n-1)+n-4
a(n-1)=a(n-2)+n-5
。。。。。
a2=a1-2
上式相加并化简得
an=a1+(-2-1+0+1+。。。
+(n-4))
=6+(n-6)*(n-1)/2
=(n^-7n+18)/2
b(n+1)=1/2(bn)+1
2b(n+1)=(bn)+2
2[b(n+1)+t]=b(n)+t
2b(n+1)=b(n)-t
t=-2
2[b(n+1)-2]=b(n)-2
(bn)-2是以b1-2=4为首项,以(1/2)为公比的等比数列
b(n)-2=4*(1/2)^(n-1)=2^(3-n)
b(n)=2^(3-n)+2
am=bm
(m^-7m+18)/2=2^(3-m)+2
m^-7m+14=2^(4-m)
m^-7m+14>=2 (m=3,4时,取"=")
欲使2^(4-m)>=2
则4-m>=1
1=<m<=3
当m=1时,自然成立
当m=2时,左=4,右=4,也成立
当m=3时,左=2,右=2,也成立
正整数m的集合M={1,2,3}
。
[展开]
已知数列{an},{bn}满足a1=b1=6,a(n+1)=an+n-3,b(n+1)=1/2(bn)+1
(1)求数列{an},{bn}的通项公式
(2)求使得am=bm(m是下标)的正整数m的集合M
(1)a(n+1)=an+n-3--->
a(n)-a(n-1)=(n-1)-3
a(n-1)-a(n-2)=(n-2)-3
。
。。
a2-a1 = 1-3
a1 = 6 = 9-3
以上n式相加:an = 9+[1+2+3。。。+(n-1)]-3n
= 9+n(n-1)/2-3n
= (n²-7n+18)/2
b(n+1)=(1/2)(bn)+1
令:[b(n+1)-k]=(1/2)(bn-k)--->k=2
--->{b(n)-2}是以b1-2=4为首项、q=1/2为公比的等比数列
--->bn-2 = 4*(1/2)^(n-1) = 2^(3-n)
--->bn = 2+2^(3-n)
(2)an = bn
---> (n²-7n+18)/2 = 2+2^(3-n)
--->2^(3-n)-(n²-7n+14)/2 = 0
--->f(n) = 2^(4-n)-(n²-7n+14) = 0
f'(n) = -ln2*2^(4-n)-(2n-7) <0。
。。。。。(n≥4)
--->f(n)在n≥4时单调减
验证:f(1)=f(2)=0,f(3)<0,f(4)<0
--->使an=bn的n值只有1,2,集合为{1,2}。
[展开]
已知数列{an},{bn}满足a1=b1=6,an+1=an+n-3,bn+1=1/2(bn)+1,(1)求数列{an},{bn}的通项公式求使得am=bm(m是下标)的正整数m的集合M
可以用线递推的公式得到通项。
或者按下面的方法得到。
a_2=a_1+1-3,
a_3=a_2+2-3,
。 。。
a_n=a_{n-1}+(n-1)-3。
把上面全加,消去两边相同的项,得
a_n=a_1+[1+2+3+。
。。+(n-1)}-(n-1)*3=6+n(n-1)/2-3(n-1)=n^2/2-7/2*n+9。
现在算b_ +1=1/2(bn)+1---&
gt;b_{n+1}-2=1/2*(b_n-2)。
所以b_n-2=(1/2)^{n-1}*(b_1-2)=(1/2)^{n-1}*(4), b_n=1/2^{n-3})+2。
如果_=_a_m=b_m, 那么 m^2/2-7/2*m+9=1/2^{m-3})+2
容易看出,左边最小值>23/8,而右边=4时。
所以只需要讨论m=1,2,3这三个情况。这个时候显然a_m=b_m。所以集合M={1,2,3}。
。
[展开]