在三角形ABC中,(aA+bB+cC)/(a+b+c)的最小值是多少?
解: (aA+bB+cC)/a+b+c的最小值是π/3。证明如下:
根据三角形大角对大边,有
(a-b)*(A-B)≥0,(b-c)*(B-C)≥0,(c-a)*(C-A)≥0。
上述三式展开相加得:
2(a*A+b*B+c*C)≥(b+c)*A+(c+a)*B+(a+b)*C
上式再加:a*A+b*B+c*C得:
3(a*A+b*B+c*C)≥(a+b+c)*(A+B+C)=π*(a+b+c)
故得 (aA+bB+cC)/(a+b+c)≥π/3。
当然用排
序不等式证明可一步到位。
此题不难,难证下面问
π/2≥(aA+bB+cC)/(a+b+c)
。
[展开]
在三角形ABC中,(aA+bB+cC)/(a+b+c)的最小值是多少? 证明 (a*A+b*B+c*C)/a+b+c的最小值是π/3。 根据三角形大角对大边,用排序不等式,得: 3*(a*A+b*B+c*C)≥(a+b+c)*(A+B+C)=π*(a+b+c).
1/5÷2/3=1/5×3/2=3/10小时