咋证明？正三角形面的中心是否为重心？

证明题证明：圆锥曲线内存在无限多个内接正三角形。

证明： 如果直角坐标系内给定一条已知的二次曲线， 那么可先在该曲线上任选一点A为原点， 则该曲线过原点且无常项，可设为 f(x，y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey=0……① 设|BA|=|CA|=r，BA倾角为θ，CA倾角为α， 则显然有， (α-θ)+π/3=π→α=2π/3+θ。 这就是说，△ABC为曲线的内接正三角形，有 B(rcosθ，rsinθ)，C(rcos(2π/3+θ)，rsin(2π/3+θ))。 因点B、C在曲线①上，将坐标代入得 [A(cosθ)^2+Bcosθsinθ+C(sinθ)^2]r =-(Dcosθ+Esinθ)……② [A(cos(2π/3...全部

  证明： 如果直角坐标系内给定一条已知的二次曲线， 那么可先在该曲线上任选一点A为原点， 则该曲线过原点且无常项，可设为 f(x，y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey=0……① 设|BA|=|CA|=r，BA倾角为θ，CA倾角为α， 则显然有， (α-θ)+π/3=π→α=2π/3+θ。
   这就是说，△ABC为曲线的内接正三角形，有 B(rcosθ，rsinθ)，C(rcos(2π/3+θ)，rsin(2π/3+θ))。 因点B、C在曲线①上，将坐标代入得 [A(cosθ)^2+Bcosθsinθ+C(sinθ)^2]r =-(Dcosθ+Esinθ)……② [A(cos(2π/3+θ))^2+Bcos(2π/3+θ)sin(2π/3+θ)+C(sin(2π/3+θ))^2]r =-[Dcos(2π/3+θ)+Esin(2π/3+θ)] →-(D'cosθ+E'sinθ) =[A'(cosθ)^2+B'cosθsinθ+C'(sinθ)^2]r……③ 其中，A'、B'、C'、D'、E'均为常数。
   由②×③，展开整理后得 (tanθ)^3+λ(tanθ)^2+μtanα+ν=0……④ 其中，λ、μ、ν为实系数。 由于④为关于tanθ的一元三次实系数方程， 因此至少有一实根θ'，从而求出 r=f(θ')=tanθ'， 即曲线f(x，y)内存在内接正三角形， 故命题得证。
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