利用单调有界准则证明数列{Xn}收敛,并求其极限
首先,由X1=a>0及Xn 1=1/2(Xn 1/Xn),得所有Xn>0(n为自然数)。(由这个公式,可知Xn 1与Xn符合相同,而X1大于0,因此所有{Xn}中元素均大于0。这个是利用下面不等式的基础) 其次证明有界:Xn 1=1/2(Xn 1/Xn)>=1/2*2*√(Xn*1/Xn)=1( 利用a b>=2√ab)。 因此Xn>=1(n>1) 最后证明单调性:Xn 1-Xn=1/2(1/Xn-Xn)。因为Xn>=1,因此1/Xn由单调有输准则,数列{Xn}收敛。 由上可知,其极限=1。
首先,由X1=a>0及Xn 1=1/2(Xn 1/Xn),得所有Xn>0(n为自然数)。(由这个公式,可知Xn 1与Xn符合相同,而X1大于0,因此所有{Xn}中元素均大于0。这个是利用下面不等式的基础) 其次证明有界:Xn 1=1/2(Xn 1/Xn)>=1/2*2*√(Xn*1/Xn)=1( 利用a b>=2√ab)。
因此Xn>=1(n>1) 最后证明单调性:Xn 1-Xn=1/2(1/Xn-Xn)。因为Xn>=1,因此1/Xn由单调有输准则,数列{Xn}收敛。 由上可知,其极限=1。收起