用数学归纳法证明:在凸n边形中,以其顶点为顶点,但不以其边为边的所有三角形的个数共有1/6n(n-4)(n-5)
1。n=6,显然成立。
2。设n=k≥6,不以其边为边的所有三角形的个数共有(1/6)k(k-4)(k-5)。
当n=k+1时,
在凸k+1边形中,取A,B,C,D,E,5个相邻顶点
,将不以其边为边的所有三角形分为3部分
ⅰ。 凸k+1边形中去C点的凸k边形中,由归纳法的设,有(1/6)k(k-4)(k-5)
个三角形,也符合不以凸k+1边形边为边。
ⅱ。以B,D为顶点不以凸k+1边形边为边,则另1顶点不在
A,B,C,D,E,5个相邻顶点,有k+1-5=k-4个。
ⅲ。以C为顶点,另2顶点不在B,C,D,3个相邻顶点的不相邻的2顶点,
有C(k-3,2)=(k-3)(k-4)/2...全部
1。n=6,显然成立。
2。设n=k≥6,不以其边为边的所有三角形的个数共有(1/6)k(k-4)(k-5)。
当n=k+1时,
在凸k+1边形中,取A,B,C,D,E,5个相邻顶点
,将不以其边为边的所有三角形分为3部分
ⅰ。
凸k+1边形中去C点的凸k边形中,由归纳法的设,有(1/6)k(k-4)(k-5)
个三角形,也符合不以凸k+1边形边为边。
ⅱ。以B,D为顶点不以凸k+1边形边为边,则另1顶点不在
A,B,C,D,E,5个相邻顶点,有k+1-5=k-4个。
ⅲ。以C为顶点,另2顶点不在B,C,D,3个相邻顶点的不相邻的2顶点,
有C(k-3,2)=(k-3)(k-4)/2种。
共有(1/6)k(k-4)(k-5)+k-4+(k-3)(k-4)/2=(1/6)(k+1)(k-3)(k-4)。
有n=k+1时,成立,所以
根据归纳法证明,所有n有在凸n边形中,以其顶点为顶点,
但不以其边为边的所有三角形的个数共有1/6n(n-4)(n-5)。收起