求列一公式求一平方和的公式即:1平方+2平方+3平方......100平方.
公式:1平方+2平方+3平方。。。。。。+n平方=n(n+1)(2n+1)/6
∴1平方+2平方+3平方。。。。。。100平方=100*101*201/6=338350
公式证明用到两数和立方公式:
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3a*b^2+b^3
证明:(n+1)^3-n^3=n^3+3n^2+3n+1-n^3→
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)^2+3(n-2)+1
……………………………………
3^3 -2^3=3*2^2 +3*2 +1
2^3 -1^3=3...全部
公式:1平方+2平方+3平方。。。。。。+n平方=n(n+1)(2n+1)/6
∴1平方+2平方+3平方。。。。。。100平方=100*101*201/6=338350
公式证明用到两数和立方公式:
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3a*b^2+b^3
证明:(n+1)^3-n^3=n^3+3n^2+3n+1-n^3→
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)^2+3(n-2)+1
……………………………………
3^3 -2^3=3*2^2 +3*2 +1
2^3 -1^3=3*1^2 +3*1 +1^3
以上等式的两边分别相加得到
(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)
+3(1+2+3+……+n)
+(1+1+1+……+1)
∴3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)=(n+1)^3-1-3n(n+1)/2-n
=(n+1)(n^2+2n-3n/2-n)
=(n+1)n(n+1/2)
=n(n+1)(2n+1)/2。
∴1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
。收起
