如何用数学归纳法证明【（根号2）减1】的任何正整数幂都具有【（根号m）减（根号（m-1））】的形式，m是正整数。
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分析：记An=（根号2-1）^n;由二项式定理，分别提取√2的奇数次幂和偶数次幂组合数写作Cnm（从n中取出m个数的组合）所以不用归纳法也可以计算出 An为了简单表示，分类讨论：n是偶数时， An=（2n-1）-√[(2n-1)^2-1] 即m=（2n-1）^2;n是奇数时， An=√2*（2n-1）^2-√[2*(2n-1)^2-1] 即m=2*(2n-1)^2;（这是用归纳法做题的关键）证明：当n=1时，A1=√2-√1，命题成立。
当n=2时，A2==3-√8，命题成立。
假设当n=2k（k是正整数）时，An=（2n-1）-√[(2n-1)^2-1] ;则A（2k 2）=（3-2√2）*{（2n-1）-√[(2n-1)^2-1] }==（2n 1）-√[(2n 1)^2-1] ；命题成立；故由数学归纳法原理知 当n为偶数时命题成立；同理，n为奇数时，命题亦成立；所以，该命题得证！。
当n=2时，A2==3-√8，命题成立。
假设当n=2k（k是正整数）时，An=（2n-1）-√[(2n-1)^2-1] ;则A（2k 2）=（3-2√2）*{（2n-1）-√[(2n-1)^2-1] }==（2n 1）-√[(2n 1)^2-1] ；命题成立；故由数学归纳法原理知 当n为偶数时命题成立；同理，n为奇数时，命题亦成立；所以，该命题得证！。
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