若每个人的生日可以看作是一个八位数m，若将组成该数的数字调整顺序重新组成一个最大的八位数M，将M与m的差C的各个位置上的数字相加构成一个两位数L，再将构成L的各个位置上的数字相加得的和H.求证：H=9
第一步：差值c是可以被9整除的数。
把8位数中的任意一位设为a，它的值是都可以写为a*10^p（10的P次方）
位置调换后，假设其值是a*10^q（10的q次方），
若q>p，二者相减，则为a*10^p（10^(q-p)-1）。
比如，原来是30，调换后是3000，差值为3000-30=3*10（10^(3-1)-1）=30*99
因为a*10^q（10^(p-q)-1）中存在因子（10^(p-q)-1），（上例中是100-1=99）
所以a*10^q（10^(p-q)-1）肯定是可以被9整除的数。
若q全部
第一步：差值c是可以被9整除的数。
把8位数中的任意一位设为a，它的值是都可以写为a*10^p（10的P次方）
位置调换后，假设其值是a*10^q（10的q次方），
若q>p，二者相减，则为a*10^p（10^(q-p)-1）。
比如，原来是30，调换后是3000，差值为3000-30=3*10（10^(3-1)-1）=30*99
因为a*10^q（10^(p-q)-1）中存在因子（10^(p-q)-1），（上例中是100-1=99）
所以a*10^q（10^(p-q)-1）肯定是可以被9整除的数。
若q
问题的关键是，若干可以被9整除的数相互加减，结果一定是可以被9整除的数。
第二步：一个可以被9整除的数，其各位数字之和一定可以被9整除
设C可以写作efrsuvyz（efrsuvyz都是一位数）即
c=e*10^7+f*10^6+r*10^5+s*10^4+u*10^3+v*10^2+y*10+z
=9999999e+e+999999f+f+99999r+r+9999s+s+999u+u+99v+v+9y+y+z
=(9999999e+999999f+99999r+9999s+999u+99v+9y)+(e+f+r+s+u+v+y+z)
=9*(1111111e+111111f+11111r+1111s+111u+11v+y)+(e+f+r+s+u+v+y+z)
为了叙述方便，设
9*(1111111e+111111f+11111r+1111s+111u+11v+y)=i
而(e+f+r+s+u+v+y+z)就是l
即c=i+l
i因为有因子9，所以肯定可以被9整除。
同第一步的定理：若干可以被9整除的数相互加减，结果一定是可以被9整除的数。
所以，l=c-i一定是可以被9整除的数。
即组成c的8位数字之和，一定是可以被9整除的数。
第三步：
8个数，最大不超过9，所以其和最大不超过8*9=72，是两位数。
可能的两位数总共有9个：
00，09，18，27，36，45，54，63，72，
可以用穷举法证明（即7+2=9、6+3=9……略）。
本证明还给出一个特例，即8位数字相同时，H为0而不等于9，如1111年11月11日出生（真正的光棍节）。
收起
