几何几何
在ΔABC中,BC=a,CA=b,AB=c，∠A:∠B:∠C=4:2:1. 求证:1/c=1/a+1/b.
参考文献：
三角证法(一) 据题意得: ∠A=4π/7,∠B=2π/7,∠C=π/7，由正弦定理及恒等式得:
sin(3π/7)= sin(4π/7), sin(2π/7)=2 sin(π/7)* cos(π/7),
1/sin(4π/7)+1/sin(2π/7)=2sin(3π/7)*cos(π/7)/[ sin(4π/7)*sin(2π/7)]
=1/sin(π/7)
故得 1/a+1/b=1/c。 证毕。
代数证法(二) 根椐倍角三角形定理得:
∠A=2∠B a^2=b(b+c) (1)
∠B=2∠C b^2=c(a+c) (2)
(1)+(2) 得: a^2=c(a+b+c)...全部
参考文献：
三角证法(一) 据题意得: ∠A=4π/7,∠B=2π/7,∠C=π/7，由正弦定理及恒等式得:
sin(3π/7)= sin(4π/7), sin(2π/7)=2 sin(π/7)* cos(π/7),
1/sin(4π/7)+1/sin(2π/7)=2sin(3π/7)*cos(π/7)/[ sin(4π/7)*sin(2π/7)]
=1/sin(π/7)
故得 1/a+1/b=1/c。
证毕。
代数证法(二) 根椐倍角三角形定理得:
∠A=2∠B a^2=b(b+c) (1)
∠B=2∠C b^2=c(a+c) (2)
(1)+(2) 得: a^2=c(a+b+c), 故有
1/c=(a+b+c)/a^2=(b+c)/a^2+1/a=1/b+1/a。
几何证法(三) 此命题几何有许多，今运用托勒密定理证明。
作ΔABC的外接圆，在BC优弧上取一点D，使BD=AD, 连BD,AD,CD。显然AD=AC，CD=BC，运用托勒密定理得:AD*BC=AB*CD+BD*AC
ba=ca+cb 同除abc即得所证结论。
。收起
