积分 (根号2x+1)/x^2 dx
积分 (根号2x+1)/x^2 dx
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设√(2x+1)＝t，则x＝(t^2－1)/2，dx=tdt。
∫√(2x+1)/x^2 dx
＝∫4t^2/(t^2－1)^2 dt。
使用分部积分法，被积函数里分离出－2t/(t^2－1)^2，等于(1/(t^2－1))的导数。
所以 ∫√(2x+1)/x^2 dx ＝∫4t^2/(t^2－1)^2 dt ＝－2∫td(1/(t^2－1)) ＝－2[t/(t^2－1)－∫dt/(t^2－1)] ＝－2t/(t^2－1)+∫[1/(t－1)]－1/(t+1)]dt ＝－2t/(t^2－1)+ln|t－1|－ln|t+1|+C ＝－√(2x+1)/x+ln|√(2x+1)－1|－ln|√(2x+1)+1|+C。
所以 ∫√(2x+1)/x^2 dx ＝∫4t^2/(t^2－1)^2 dt ＝－2∫td(1/(t^2－1)) ＝－2[t/(t^2－1)－∫dt/(t^2－1)] ＝－2t/(t^2－1)+∫[1/(t－1)]－1/(t+1)]dt ＝－2t/(t^2－1)+ln|t－1|－ln|t+1|+C ＝－√(2x+1)/x+ln|√(2x+1)－1|－ln|√(2x+1)+1|+C。
设根号(2x+1)=t,则2x+1=t^2,dx=tdt。
代入原式,得:
原式=∫{t/[(t^2-1)/2]^2}tdt
=4∫t^2dt/[(t^2-1)^2]
=∫[1/(t-1)-1/(t+1)+1/(t-1)^2+1/(t+1)^2]dt
=ln|(t-1)/(t+1)|-1/(t-1)-1/(t+1)+C
=ln|(t-1)/(t+1)|-(2t)/(t^2-1)+C
=ln|[根号(2x+1)-1]/[根号(2x+1)+1]|-根号(2x+1)/x+C
=ln|[x+1-根号(2x+1)]/x|-根号(2x+1)/x+C
第二步到第三步是由待定系数法得到的。
令 a/(t-1)+b/(t+1)+c/(t-1)^2+d/(t+1)^2=4t^2/[(t^2-1)^2] 去分母,得 a(t-1)(t+1)^2+b(t+1)(t-1)^2+c(t+1)^2+d(t-1)^2=4t^2(*) 令t=1,得4c=4,即c=1;令t=-1,得4d=4,即d=1 把c=d=1代入(*)式,得 a(t-1)(t+1)^2+b(t+1)(t-1)^2=2(t^2-1) 上式恒等,故可两边除以(t^2-1),得 a(t+1)+b(t-1)=2,解得a=1,b=-1。
。
令 a/(t-1)+b/(t+1)+c/(t-1)^2+d/(t+1)^2=4t^2/[(t^2-1)^2] 去分母,得 a(t-1)(t+1)^2+b(t+1)(t-1)^2+c(t+1)^2+d(t-1)^2=4t^2(*) 令t=1,得4c=4,即c=1;令t=-1,得4d=4,即d=1 把c=d=1代入(*)式,得 a(t-1)(t+1)^2+b(t+1)(t-1)^2=2(t^2-1) 上式恒等,故可两边除以(t^2-1),得 a(t+1)+b(t-1)=2,解得a=1,b=-1。
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