积分(根号2x+1)/x^2dx
设根号(2x+1)=t,则2x+1=t^2,dx=tdt。
代入原式,得:
原式=∫{t/[(t^2-1)/2]^2}tdt
=4∫t^2dt/[(t^2-1)^2]
=∫[1/(t-1)-1/(t+1)+1/(t-1)^2+1/(t+1)^2]dt
=ln|(t-1)/(t+1)|-1/(t-1)-1/(t+1)+C
=ln|(t-1)/(t+1)|-(2t)/(t^2-1)+C
=ln|[根号(2x+1)-1]/[根号(2x+1)+1]|-根号(2x+1)/x+C
=ln|[x+1-根号(2x+1)]/x|-根号(2x+1)/x+C
第二步到第三步是由待定系数法得到的。 令
a/(t...全部
设根号(2x+1)=t,则2x+1=t^2,dx=tdt。
代入原式,得:
原式=∫{t/[(t^2-1)/2]^2}tdt
=4∫t^2dt/[(t^2-1)^2]
=∫[1/(t-1)-1/(t+1)+1/(t-1)^2+1/(t+1)^2]dt
=ln|(t-1)/(t+1)|-1/(t-1)-1/(t+1)+C
=ln|(t-1)/(t+1)|-(2t)/(t^2-1)+C
=ln|[根号(2x+1)-1]/[根号(2x+1)+1]|-根号(2x+1)/x+C
=ln|[x+1-根号(2x+1)]/x|-根号(2x+1)/x+C
第二步到第三步是由待定系数法得到的。
令
a/(t-1)+b/(t+1)+c/(t-1)^2+d/(t+1)^2=4t^2/[(t^2-1)^2]
去分母,得
a(t-1)(t+1)^2+b(t+1)(t-1)^2+c(t+1)^2+d(t-1)^2=4t^2(*)
令t=1,得4c=4,即c=1;令t=-1,得4d=4,即d=1
把c=d=1代入(*)式,得
a(t-1)(t+1)^2+b(t+1)(t-1)^2=2(t^2-1)
上式恒等,故可两边除以(t^2-1),得
a(t+1)+b(t-1)=2,解得a=1,b=-1。
收起
