1.设随机变量(X,Y)在区域G上服从均匀分布,G为y轴,x轴与直线y=2x+1所围成的区域,求随机变量(X,Y)的边缘概率密度。
书中的答案的面积是1/4,x,y的取值范围是-1/2≤x≤0 , 0≤y≤2x+1,这儿x,y的取值是怎么来的,如果y=0时x=-1/2,那么为什么不能取x=0时y=1,而用y=2x+1来表示?请教各位老师!谢谢!
2.设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={8xy 0≤x≤y , 0≤y≤1 0 其他
求关于X及关于Y的边缘概率密度
解: 当0≤x≤1时, fx(x)=∫ f(x,y) dy [积分限为 X 到1 ]
当0≤y≤1时 fY(y)=∫ f(x,y) dx [积分限为 0到 y]
请教各位高手:为什么 ∫ fx(x) 的积分限 定在了X到1 而不是0到1(0≤y≤1) ?
我是一名自考生,基础差,不会确定二维边缘概率密度积分的限定。 烦请各位高手解释的通俗易懂点. 谢了!
您的问题涉及平面区域的表示,也就是积分上下限的确定.解释如下:
1 第一题中y轴,x轴与直线y=2x+1所围成的区域是个直角三角形区域,把它表示为-1/2≤x≤0 , 0≤y≤2x+1是正确的.
您可以这样理解:在区域中,先看x坐标的取值范围,显然该取值范围是从-1/2到0,因此可以写成-1/2≤x≤0.再看y坐标的取值范围,但是,对不同的x,其y坐标的取值范围是不同的,这是直角三角形区域所决定的.对于固定的x而言,y坐标的取值范围为从0(即从直角边所在的x轴)到2x+1(即到斜边所在的直线y=2x+1上),所以,对于固定的x而言,y坐标的取值范围为0≤y≤2x+1.当已有-1/2≤x≤0...全部
您的问题涉及平面区域的表示,也就是积分上下限的确定.解释如下:
1 第一题中y轴,x轴与直线y=2x+1所围成的区域是个直角三角形区域,把它表示为-1/2≤x≤0 , 0≤y≤2x+1是正确的.
您可以这样理解:在区域中,先看x坐标的取值范围,显然该取值范围是从-1/2到0,因此可以写成-1/2≤x≤0.再看y坐标的取值范围,但是,对不同的x,其y坐标的取值范围是不同的,这是直角三角形区域所决定的.对于固定的x而言,y坐标的取值范围为从0(即从直角边所在的x轴)到2x+1(即到斜边所在的直线y=2x+1上),所以,对于固定的x而言,y坐标的取值范围为0≤y≤2x+1.当已有-1/2≤x≤0之后,绝不可以将y坐标的取值范围写为0≤y≤1,如果写成这样,即写成-1/2≤x≤0 , 0≤y≤1,那么,只能表示矩形区域,不能表示应该表示的直角三角形区域.总之,区域应该表示为-1/2≤x≤0 , 0≤y≤2x+1.
当然,也可以先看y坐标的取值范围,显然该取值范围是从0到1,因此可以写成0≤y≤1.再看x坐标的取值范围,对于固定的y而言,x坐标的取值范围为从(y-1)/2(即从斜边所在的直线y=2x+1)到0(即直角边所在的y轴上),所以,对于固定的y而言,x坐标的取值范围为(y-1)/2≤x≤0.即区域又可以表示为0≤y≤1,(y-1)/2≤x≤0.(同样的道理,也不能将区域写成0≤y≤1,-1/2≤x≤0.)
这里的关键是首先搞清楚区域是什么,然后在区域上搞清楚如何固定一个坐标去求出另一坐标的取值范围.
2 另一题是类似的.0≤x≤y , 0≤y≤1表示的区域也是直角三角形区域(直角边在y轴和直线y=1上,斜边在直线y=x上).无妨先看y坐标的取值范围,显然该取值范围是从0到1,因此可以写成0≤y≤1.再看x坐标的取值范围,对于固定的y而言,x坐标的取值范围为从0(即从直角边所在的y轴)到y(即斜边所在的直线y=x上),所以,对于固定的y而言,x坐标的取值范围为0≤x≤y.
该区域也可以表示为0≤x≤1 , x≤y≤1。
这是先看x坐标的取值范围,显然该取值范围是从0到1,因此可以写成0≤x≤1.再看y坐标的取值范围,对于固定的x而言,y坐标的取值范围为从x(即从斜边所在的直线y=x到1(即到直角边所在的y=1上).所以,对于固定的x而言,y坐标的取值范围为x≤y≤1。
(此时,对于固定的x而言,y坐标的取值范围如果取0到1即0≤y≤1,当然是不对的,这相当于把直角三角形区域变为矩形区域了.)
求边缘密度时总是固定一个变量,对另一个变量求积分.当然就相当于在区域中固定一个坐标,看另一坐标取值的变化范围.
解释完.
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