在锐角△ABC中,外接圆半径R=
证明:
由正弦定理及R=1,有
a=2sinA,b=2sinB,c=2sinC。
于是,不等式化为:
sinA/(1-sinA)+sinB/(1-sinB)+sinC/(1-sinC)≥9+6根3
→1/(1-sinA)十1/(1-sinB)+1/(1-sinC)≥12+6根3 …… (*)
而1/(1-sinA)=1/[2(sin(π/4-A/2))^2]
∴左边=1/[2(sin(π/4-A/2))^2]+1/[2(sin(π/4-B/2))^2]+1/[2(sin(π/4-C/2))^2]
≥1/6[1/(sin(π/4-A/2))+1/(sin(π/4-B/2))+1/(sin(π...全部
证明:
由正弦定理及R=1,有
a=2sinA,b=2sinB,c=2sinC。
于是,不等式化为:
sinA/(1-sinA)+sinB/(1-sinB)+sinC/(1-sinC)≥9+6根3
→1/(1-sinA)十1/(1-sinB)+1/(1-sinC)≥12+6根3 …… (*)
而1/(1-sinA)=1/[2(sin(π/4-A/2))^2]
∴左边=1/[2(sin(π/4-A/2))^2]+1/[2(sin(π/4-B/2))^2]+1/[2(sin(π/4-C/2))^2]
≥1/6[1/(sin(π/4-A/2))+1/(sin(π/4-B/2))+1/(sin(π/4-C/2))]^2。
易知,y=1/sinx在(0,π/2)上为下凸函数,
∴左边=1/6[3×1/sin(π/4-(A+B+C)/3)]^2=12+6根3。
可见,(*)成立。
∴原所证不等式也成立。
思考了一个下午还没找到一个简洁的方法,偶瀑布汗啊!。
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