代数方程组求解
α=ω^2,1+α+α^2=0
我们解下面的方程组（Ⅰ）：
x+y+z=1
x^2+αy^2+α^2z^2=0
x^3+α^2y^3+αz^3=0
1。
取（x,y,z)为方程组（Ⅰ）的一个解。
记号：
S(4)=x^4+y^4+z^4
σ(2)=xy+xz+yz
σ(3)=xyz
β(1)=x+αy+α^2z
β(2)=αxy+α^2xz+yz
γ=α^2xy+αxz+yz
f(t)=(t-x)(t-αy)(t-α^2z)
G(s)=1/(1-xs)+α^2/(1-αys)+α/(1-α^2zs)
2。
若（x,y,z)为方程组（Ⅰ）的一个解，
则显然（y,z,x)（z,x,y)...全部
α=ω^2,1+α+α^2=0
我们解下面的方程组（Ⅰ）：
x+y+z=1
x^2+αy^2+α^2z^2=0
x^3+α^2y^3+αz^3=0
1。
取（x,y,z)为方程组（Ⅰ）的一个解。
记号：
S(4)=x^4+y^4+z^4
σ(2)=xy+xz+yz
σ(3)=xyz
β(1)=x+αy+α^2z
β(2)=αxy+α^2xz+yz
γ=α^2xy+αxz+yz
f(t)=(t-x)(t-αy)(t-α^2z)
G(s)=1/(1-xs)+α^2/(1-αys)+α/(1-α^2zs)
2。
若（x,y,z)为方程组（Ⅰ）的一个解，
则显然（y,z,x)（z,x,y)也为方程组（Ⅰ）的一个解，
3。
若（x,y,z)为方程组（Ⅰ）的一个解，则：xyz≠0
反证法若xyz=0，根据2。
可设z=0
==》
x^2+αy^2=0
x^3+α^2y^3=0
==》
x=αy
==》
（αy）^2+αy^2=0
==》
y=0=x和x+y+z=1矛盾。
4。
若（x,y,z)中有2个数相同
根据2。可设y=z
==>
x^2+αy^2+α^2y^2=0
x^3+α^2y^3+αy^3=0
==>
x^2=y^2
x^3=y^3
==>
x=y=z=1/3
下面证明x=y=z=1/3是方程组（Ⅰ）的唯一个解。
先导出一些等式。
5。
将G(s)展成幂级数。
G(s)=(1+xs+x^2s^2+x^3s^3+x^4s^4+。。。。)+
+α^2(1+αys+α^2y^2s^2+y^3s^3+αy^4s^4+。
。。。)+
+α(1+α^2zs+αz^2s^2+z^3s^3+α^2z^4s^4+。。。。)=
=s+S(4)s^4+。。。。
6。
将G(s)通分
G(s)=
=[(1-αys)(1-α^2zs)+α^2(1-xs)(1-α^2zs)+
+α(1-xs)(1-αys)]/[1-β(1)s+β(2)s^2-σ(3)s^3]=
=[s+γs^2]/[1-β(1)s+β(2)s^2-σ(3)s^3]
==>
7。
s+γs^2=
=[1-β(1)s+β(2)s^2-σ(3)s^3][s+S(4)s^4+。。。。]
比较系数得：
γ=-β(1)
0=β(2)
S(4)=σ(3)
==》
α^2xy+αxz+yz+x+αy+α^2z=0
αxy+α^2xz+yz=0
x^4+y^4+z^4=xyz
下面设（x，y，z）≠（1/3,1/3,1/3）是方程组（Ⅰ）的一个解。
根据前面的结论由x，y，z互不相同。
8。
前面的结论得：方程组（Ⅰ）的一个解，
为下面的方程组（Ⅱ）的解：
x+y+z=1
x^2+αy^2+α^2z^2=0
xy+αxz+α^2yz=0
设：u=x/z,v=y/z
ⅰ。
uv+αu+α^2v=0==》
u=-α^2v/(v+α)
==>
[-α^2v/(v+α)]^2+αv^2+α^2=0
==>
0=v^4+2αv^3+2α^2v+1=
=(v-1)[v^3+(2α+1)v^2+(2α+1)v-1]
由于v≠1
==》
v是v^3+(2α+1)v^2+(2α+1)v-1=0的根
ⅱ。
证明y/z，z/x,x/y互不相同。
反证法：
若y/z，z/x,x/y中有2个相同，根据2。可设
y/z=z/x
==》
yx/z^2=1=uv=
==>
-α^2v^2/(v+α)=1
==>
α^2v^2+v+α=0
用辗转相除法可以证明：α^2V^2+V+α和
V^3+(2α+1)V^2+(2α+1)V-1互质。
所以α^2v^2+v+α=0和v^3+(2α+1)v^2+(2α+1)v-1=0
没有共同的根，矛盾。
所以y/z，z/x,x/y互不相同。
ⅲ。
根据2。和8。的ⅱ。得：
a=y/z，b=z/x,c=x/y
为方程v^3+(2α+1)v^2+(2α+1)v-1=0的3个不同的根。
==》
a+b+c=-(2α+1)
ab+bc+ca=(2α+1)
而ab+bc+ca=a+b+c
==》
2α+1=0
但2α+1=-i√3矛盾。
==》
(x，y，z)≠(1/3,1/3,1/3)不是方程组（Ⅰ）的一个解。
==》
x^4+y^4+z^4=1/27。
。收起
