重心问题 在三角形ABC中， 已知BC=10， AC大于AB， 且中线BE,CF互相垂直， 重心G到BC的距离为3， 则AB,AC的长为多少？
如图所示BE,CF的交点G就是三角形的重心
过G作GH⊥BC交BC于H，即GH=3
∵BE⊥CF,GH⊥BC
∴⊿BGH∽⊿CGH
∴GH∶CH＝BH∶GH
∴GH^2=CH·BH=CH·(10-CH)=9
CH^2-10CH+9=0，解得
CH=9或1
∵AC＞AB
∴CH=9，BH=1
由已知得
⊿BGH,⊿CGH,⊿BGF,⊿CGE都是Rt⊿
∴BG=√(BH^2+GH^2)=√(1^2+3^2=√10
CG=√(CH^2+GH^2=√(9^2+3^2)=3√10
∵G是三角形的重心
∴BG∶GE=2∶1
∴GE=BG/2=√10/2
∴CG∶GF=2∶1
∴GF=CG/2=3√10...全部
如图所示BE,CF的交点G就是三角形的重心
过G作GH⊥BC交BC于H，即GH=3
∵BE⊥CF,GH⊥BC
∴⊿BGH∽⊿CGH
∴GH∶CH＝BH∶GH
∴GH^2=CH·BH=CH·(10-CH)=9
CH^2-10CH+9=0，解得
CH=9或1
∵AC＞AB
∴CH=9，BH=1
由已知得
⊿BGH,⊿CGH,⊿BGF,⊿CGE都是Rt⊿
∴BG=√(BH^2+GH^2)=√(1^2+3^2=√10
CG=√(CH^2+GH^2=√(9^2+3^2)=3√10
∵G是三角形的重心
∴BG∶GE=2∶1
∴GE=BG/2=√10/2
∴CG∶GF=2∶1
∴GF=CG/2=3√10/2
∴BF=√(BG^2+GF^2)=√(10+45/2)=√130/2
∴CE=√(CG^2+GE^2)=√(90+5/2)=√370/2
∵E,F分别是AC,AB的中点
∴AB=2BF=√130
∴AC=2CE=√370
。
收起
