呼啦圈旋转的力学原理
这个网站有,但是要付费
呼啦圈的运动浅析
任春福 物理学 0210218
呼啦圈是在五十年代从美国流行起来的，于八十年代传入我国，是一种老少咸宜的运动，虽然玩的人很多，但想玩好却不容易。 在学习了力学以后，我想用力学的方法来研究一下呼啦圈的运动。
一﹑力学模型
呼啦圈的运动涉及两个物体，呼啦圈和人。呼啦圈是一种有弹性的塑料圈，在速度不太大的情况下（此时呼啦圈的形变很小），可将其近似看作刚体 。 人在玩呼啦圈时，主要是腰部与呼啦圈接触，所以我们可以只考虑腰部。人的腰部形状是很复杂的，为了进行初步分析，对腰部形状进行简化，将其看成一个圆柱形的刚体。两个刚体间的摩擦系数为 。这样...全部
这个网站有,但是要付费
呼啦圈的运动浅析
任春福 物理学 0210218
呼啦圈是在五十年代从美国流行起来的，于八十年代传入我国，是一种老少咸宜的运动，虽然玩的人很多，但想玩好却不容易。
在学习了力学以后，我想用力学的方法来研究一下呼啦圈的运动。
一﹑力学模型
呼啦圈的运动涉及两个物体，呼啦圈和人。呼啦圈是一种有弹性的塑料圈，在速度不太大的情况下（此时呼啦圈的形变很小），可将其近似看作刚体 。
人在玩呼啦圈时，主要是腰部与呼啦圈接触，所以我们可以只考虑腰部。人的腰部形状是很复杂的，为了进行初步分析，对腰部形状进行简化，将其看成一个圆柱形的刚体。两个刚体间的摩擦系数为 。这样我们就建立了呼啦圈运动的力学模型。
见图（1）：
图（1）
二﹑运动分析
通过观察可知，当呼啦圈绕我们转动的时候，它既有滚动又有滑动，我们只考虑滑动，因为呼啦圈绕圆柱体滚动的运动情况十分复杂，他们的接触点的高度在不断变化，呼啦圈的姿态也在变化，分析这种运动超出了我的能力。
实际上通过观察，我们可以发现，
图（2）
三﹑受力分析
首先，考虑圆柱体（即人的腰部）静止的情况：呼啦圈在开始时获得一个初始速度，绕圆柱体转动，并在圆柱体表面进行滑动,设其转动方向为顺时针方向，则此时它所受的力为重力﹑圆柱体对它的弹力和摩擦力，其受力情况如图（3）所示：
图（3）
呼啦圈受到的弹力是由圆周运动引起的，其大小决定了摩擦力的大小。
它受到的摩擦力可分解为水平方向和竖直方向两个分量，水平分量阻碍呼啦圈的滚动，竖直分量阻碍呼啦圈向下掉落。由于摩擦力的水平分量，呼啦圈的速度逐渐减小，其所受到的弹力也在减小，摩擦力跟着减小直到无法阻止其在重力作用下掉落。
因此，要使呼啦圈作稳定的圆周运动，就必须有一个力来平衡摩擦力的水平分量，这个力只能由圆柱体提供，所以圆柱体应有一个加速运动。
呼啦圈需要一个怎样的加速度呢？首先考虑圆柱体进行圆周运动的情况,因为圆周运动是加速度不断改变方向的运动，而呼啦圈的速度方向也是不断改变的。
圆柱体转动方向应与呼啦圈一致，否则无法加速它。我们选择坐标架位于圆周运动圆心并随圆柱体转动的参考系，则在该参照系内，圆柱体的中轴是静止的，而圆柱体进行自转（这是考虑到我们的腰是不能改变方位的），呼啦圈则围绕它转动。
呼啦圈受力如图（4）：
圆周运动的半径。
四、运动方程
首先,我们设呼啦圈绕圆柱体转动的角速度为 ,圆柱体作圆周运动的角速度为 ,呼啦圈的半径为 ,则呼啦圈的质心到圆柱体中轴的距离为 ,呼啦圈的质量为 ,在参照系中的速度 。
由呼啦圈不下落可得 (1)
由呼啦圈绕圆柱体转动可知 （2）
由摩擦力公式可知 （3）
由惯性力公式可得 （4）
（5）
（6）
（7）
由角动量定理有 （8）
以垂直于图（5）平面且过呼啦圈与圆柱体接触点的直线为轴有
（9）
由运动学公式有 （10）
（11）
（12）
有以上几个方程和几何条件可以解出 ，但这是一个非线性微分方程组，以我现在的数学能力无法求解，大概也没有解析解。
所以我们可以加入一些限制条件来获得一些初步结果。我们令 常数， 常数，可解出
（13）
在这个解中，我们可以舍去负解,因我们规定了 的方向,同时根号下的 可以趋近于负无穷，这样 不是在任何时候都有解，这说明 和 不能恒为常数，这是为什么？因为他们恒为常数的条件是惯性力矩与摩擦力矩抵消，但从图（6）中可以看出，当呼啦圈从与圆柱体运动中心在圆柱体的异侧的位置运动到同侧的位置过程中（即 从 到 ），惯性力矩是与摩擦力矩同向的，此时呼啦圈的角动量必定减小。
如果想改变这种情况,就必须改变 的方向。
五、结论
在以上的讨论中，我们初步的分析了呼啦圈的运动，我们发现当我们的腰作圆周运动时，呼啦圈绕我们转动的过程中有一半过程是在减速的，因此我们在玩呼啦圈时在这一半过程中可以改变转动方向，如果我们的腰做不出这种改变，不妨停下不动，这样既可以节省体力也可以让呼啦圈转得更快些。
另外，由式（13）可以看出：当 不变时，r越大则所需的 越大，这说明胖人（r较大）在以同样的θ转同样的呼啦圈时，需要转的更快。这样看来用呼啦圈减肥对胖人更有效。
参考资料：
1。《新概念力学》 赵凯华 罗蔚茵
2。
《An introduction to mechanics》 Daniel Kleppner & J。Kolenkow
3。《CLASICAL MECHANICS》 Herbert Goldstein
。
收起
