立体几何三棱锥S-ABC中，侧棱与底面成60度，又角BAC=60度，SA垂直BC
1）求证：三棱锥S-ABC是正三棱锥
2）SA=a，求S-ABC的全面积
证明：如图
做SH⊥平面ABC
连AH，BH，CH
则SH⊥AH SH⊥BH SH⊥CH ∠SAH=∠SBH=∠SCH=60°
∴AH=BH=CH=SH√3/3 SA=SB=SC=2AH=2BH=2CH
∴H是△ABC的外心。 AH，BH，CH分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB
而∵AH=BH ∴∠HAB=∠HBA=30°
同理∠HAC=∠HCA=∠HCB=∠HBC=30°
∴∠ABC=∠ACB=∠BCA=60°
H是正三角形ABC的中心，SH⊥平面ABC于H点
∴三棱锥S-ABC是正三棱锥
（2）
延长AH交BC与D，则BC=CD
SA=a AH=...全部
证明：如图
做SH⊥平面ABC
连AH，BH，CH
则SH⊥AH SH⊥BH SH⊥CH ∠SAH=∠SBH=∠SCH=60°
∴AH=BH=CH=SH√3/3 SA=SB=SC=2AH=2BH=2CH
∴H是△ABC的外心。
AH，BH，CH分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB
而∵AH=BH ∴∠HAB=∠HBA=30°
同理∠HAC=∠HCA=∠HCB=∠HBC=30°
∴∠ABC=∠ACB=∠BCA=60°
H是正三角形ABC的中心，SH⊥平面ABC于H点
∴三棱锥S-ABC是正三棱锥
（2）
延长AH交BC与D，则BC=CD
SA=a AH=a/2 HD=AH/2=a/4 SD=√[SH＾+HD＾]=a（√13）/4
BD=（√3/3）AD=（√3/3）（AH+HD）=a（√3）/4
BC=a（√3）/2
正三棱锥侧面积S1=3×（1/2）×BC×SD
=（3√39）/16
正三棱锥底面积S2=（1/2）×BC＾×sin60°
==（3√3）/16
∴S-ABC的全面积S=S1+S2。
收起
