一个三角不等式设A+B+C=π,
先给出一种证法:
原不等式可变形为
cos^2A/(1+cosA)+cos^2B/(1+cosB)+cos^2C/(1+cosC)≥1/2
设f(x)=cos^2x/(1+cosx),可以证明f(x)在x∈(0,π)为凹函数
即有[f(x1)+f(x2)+f(x3)]/3≥f((x1+x2+x3)/3)
用A,B,C代替上式中的x1,x2,x3得
[f(A)+f(B)+f(C)]/3≥f((A+B+C)/3)=f(π/3)=1/6
此即cos^2A/(1+cosA)+cos^2B/(1+cosB)+cos^2C/(1+cosC)≥1/2
所以原不等式成立!
再给出一种证法:
接上,令T=c...全部
先给出一种证法:
原不等式可变形为
cos^2A/(1+cosA)+cos^2B/(1+cosB)+cos^2C/(1+cosC)≥1/2
设f(x)=cos^2x/(1+cosx),可以证明f(x)在x∈(0,π)为凹函数
即有[f(x1)+f(x2)+f(x3)]/3≥f((x1+x2+x3)/3)
用A,B,C代替上式中的x1,x2,x3得
[f(A)+f(B)+f(C)]/3≥f((A+B+C)/3)=f(π/3)=1/6
此即cos^2A/(1+cosA)+cos^2B/(1+cosB)+cos^2C/(1+cosC)≥1/2
所以原不等式成立!
再给出一种证法:
接上,令T=cos^2A/(1+cosA)+cos^2B/(1+cosB)+cos^2C/(1+cosC)
以下求T的最小值。
令x=cotA,y=cotB,z=cotC,则易知xy+yz+zx=1,于是有
x^2+1=(x+y)(x+z),y^2+1=(y+x)(y+z),z^2+1=(z+x)(z+y)且
x+y,y+z,z+x均为正数
cos^2A/(1+cosA)=(x^2/(x^2+1))/[1+x/√(x^2+1)]
=x^2/[√(x^2+1)(√(x^2+1)+x)]=x^2-x^3/√(x^2+1)
=x^2-x^3/√[(x+y)(x+z)]≥x^2-(x^3/2)[1/(x+y)+1/(x+z)]
同样有
cos^2B/(1+cosB)≥y^2-(y^3/2)[1/(y+x)+1/(y+z)]
cos^2C/(1+cosC)≥z^2-(z^3/2)[1/(z+y)+1/(z+x)]
三式相加得
T≥x^2+y^2+z^2-[(x^3+y^3)/(x+y)+(y^3+z^3)/(y+z)+(z^3+x^3)/(z+x)]/2
=x^2+y^2+z^2-[(x^2-xy+y^2)+(y^2-yz+z^2)+(z^2-zx+x^2)]/2
=(xy+yz+zx)/2=1/2
所以原不等式成立!。
收起