数列已知f(x)=a0+a1x+
（1）依题意得，f(1)=n^2,即a0+a1+……+an=n^2
令n=1 则a0+a1=1，a1=1-a0
令n=2 则a0+a1+a2=4，a2=4-(a0+a1)=4-1=3
令n=3 则a0+a1+a2+a3=9，a3=9-(a0+a1+a2)=9-4=5
∵{an}为等差数列 ∴d=a3-a2=5-3=2
a1=3-2=1,a0=0
∴an=1+(n-1)*2,an=2n-1
（2）由(1)f(x)=a1x+a2x^2+a3x^3+…+anx^n
n为奇数时，f(-x)=-a1x+a2x^2-a3x^3+…-anx^n
g(x)=1/2[f(x)-f(-x)]=a1x+a3...全部
（1）依题意得，f(1)=n^2,即a0+a1+……+an=n^2
令n=1 则a0+a1=1，a1=1-a0
令n=2 则a0+a1+a2=4，a2=4-(a0+a1)=4-1=3
令n=3 则a0+a1+a2+a3=9，a3=9-(a0+a1+a2)=9-4=5
∵{an}为等差数列 ∴d=a3-a2=5-3=2
a1=3-2=1,a0=0
∴an=1+(n-1)*2,an=2n-1
（2）由(1)f(x)=a1x+a2x^2+a3x^3+…+anx^n
n为奇数时，f(-x)=-a1x+a2x^2-a3x^3+…-anx^n
g(x)=1/2[f(x)-f(-x)]=a1x+a3x^3+a5x^5+…+anx^n
g(1/2)=1*(1/2)+5*(1/2)^3+9*(1/2)^5+…+(2n-5)(1/2)^(n-2)+(2n-1)(1/2)^n
1/4g(1/2)=1*(1/2)^3+5*(1/2)^5+…+(2n-5)(1/2)^n+(2n-1)(1/2)^(n+2)
想减得：3/4g(1/2)=1/2+4[(1/2)^3+(1/2)^5+…+(1/2)^n]-(2n-1)(1/2)^(n+2)
∴g(1/2)=14/9-13/9*(1/2)^n-2/3*n(1/2)^n
设c(n)=2/3*n(1/2)^n
∵c(n+1)-cn=1/3*(1-n)*(1/2)^n≤0
∴c(n+1)≤cn，cn是减函数
13/9*(1/2)^n也是减函数
∴g(1/2)为n的增函数，当n=1时，g(1/2)= 1/2是最小值
g(1/2)=14/9-13/9*(1/2)^n-2/3*n(1/2)^n＜14/9
∴1/2≤g(1/2)＜14/9
自然数m的最大值为0，M最小值为2
M-m的最小值=2
。
收起
