设点A,B是抛物线y^2=2px(其中p>0)上不同于原点的两个动点,且OA⊥OB,求证:(1)直线AB经过一个定点.(2)若OM⊥AB,求点M的轨迹方程.
设点A,B是抛物线y^=2px(其中p>0)上不同于原点的两个动点,且OA⊥OB,求证:(1)直线AB经过一个定点。(2)若OM⊥AB,求点M的轨迹方程。
设：A、B、M坐标为(x1,y1)(x2,y2)(x,y)
y1^=2px1,y2^=2px2--->y1^-y2^=(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2)
OA⊥OB--->(y1/x1)(y2/x2)=-1------------>x1x2=-y1y2
x1x2=(y1^/2p)(y2^/2p)=(y1y2)^/(4p^)=-y1y2----->y1y2=-4p^
AB斜率: k=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/...全部
设点A,B是抛物线y^=2px(其中p>0)上不同于原点的两个动点,且OA⊥OB,求证:(1)直线AB经过一个定点。(2)若OM⊥AB,求点M的轨迹方程。
设：A、B、M坐标为(x1,y1)(x2,y2)(x,y)
y1^=2px1,y2^=2px2--->y1^-y2^=(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2)
OA⊥OB--->(y1/x1)(y2/x2)=-1------------>x1x2=-y1y2
x1x2=(y1^/2p)(y2^/2p)=(y1y2)^/(4p^)=-y1y2----->y1y2=-4p^
AB斜率: k=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)---->y1+y2=2p/k
OM⊥AB---->；k(y/x)=-1,--->k=-x/y
x1+x2=(y1^/2p)+(y2^/2p)=[(y1+y2)^-2y1y2]/(2p)
=[(2p/k)^+4p^]/(2p)=2p(1/k^+2p)
M在AB上：---->(y1-y)/(x1-x)=(y2-y)/(x2-x)=k
--->y1-y=k(x1-x), y2-y=k(x2-x)
--->y1+y2-2y=k(x1+x2-2x)
--->2p-2ky=k^[2p(1/k^+2p)-2x]=2p+4p^k^-2k^x
--->-2ky=4p^k^-2k^x
--->y+2p^k-kx=0
--->y-2p^(x/y)+x(x/y)=0
--->x^+y^-2p^x=0 （x≠0，x≠p^）
轨迹是一个圆（除去与x轴的两个交点）
。收起
