一个选择题
设A是m*n矩阵（m＞n或m=n)，则齐次线性方程组AX=0存在基础解系的充分必要条件是 A A的列向量组线性无关 B r(A)=r＜n C |ATA|≠0 D 对n阶可逆矩阵B 有r(AB)=n E 以上均不正确 我觉得A B都对啊 另外请给解释CD 谢谢！
全部回答
齐次线性方程组AX=0存在基础解系，即方程组有非零解。
A、 A的列向量组线性无关
A的秩等于其列向量组的秩，所以A的秩是n，方程组Ax＝0只有零解。
（此时的矩阵A也称为列满秩矩阵。
如果矩阵的秩等于其行数，称矩阵是行满秩矩阵。矩阵既行满秩，又列满秩，矩阵就是满秩矩阵，即矩阵可逆）
B、 r(A)=r<n 结论成立是显然的。
C、|A^TA|≠0
说明A^TA是n阶可逆矩阵，可以证明A的秩就是n：首先r(A)≤n（列数），其次r(A^TA)＝n，而r(A^TA)≤r(A)，所以r(A)≥n，因此r(A)＝n，方程组Ax＝0只有零解。
第二种方法：假设方程组Ax＝0有非零解，则在方程组左边乘以A^T，得到方程组A^TAx＝0也有非零解，而由|A^TA|≠0得到方程组A^TAx＝0只有零解，矛盾。
D、对n阶可逆矩阵B 有r(AB)=n。
任意一个矩阵乘上一个可逆矩阵是不改变它的秩的，所以r(A)＝n，方程组Ax＝0只有零解。
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