高等代数已知一个矩阵正定，判断另一个矩阵是否正定，如果正定，试证明。（其中另一个矩阵的元素都是原来矩阵元素的平方）
只讨论实正定矩阵，复正定矩阵的原理一样。
定理：设An=（aij），Bn=（bij），为n阶正半定矩阵，
则Cn=（aij*bij）为n阶正半定矩阵。
这个定理的证明和下面的命题的证明完全一样，我不做了，
你可模仿下面的命题的证明做，只不过将正定矩阵换成正半定矩阵。
命题：设An为n阶正定矩阵，B（An）n阶方阵的元素都是A矩阵元素的平方。
则B（An）为正定矩阵。
证：对n归纳。
1。n=1，显然。
2。设n=k时，命题成立。
设A（k+1）=（a（i，j））为k+1阶正定矩阵，记
A（k+1）=
Ak，C
C^t,d
其中Ak为k阶正定矩阵，C为k阶列向量，C^t为C的转置，
d=...全部
只讨论实正定矩阵，复正定矩阵的原理一样。
定理：设An=（aij），Bn=（bij），为n阶正半定矩阵，
则Cn=（aij*bij）为n阶正半定矩阵。
这个定理的证明和下面的命题的证明完全一样，我不做了，
你可模仿下面的命题的证明做，只不过将正定矩阵换成正半定矩阵。
命题：设An为n阶正定矩阵，B（An）n阶方阵的元素都是A矩阵元素的平方。
则B（An）为正定矩阵。
证：对n归纳。
1。n=1，显然。
2。设n=k时，命题成立。
设A（k+1）=（a（i，j））为k+1阶正定矩阵，记
A（k+1）=
Ak，C
C^t,d
其中Ak为k阶正定矩阵，C为k阶列向量，C^t为C的转置，
d=a（k+1，k+1））。
则
B（A（k+1））=
B（Ak），D
D^t, d^2
其中由归纳法的假设，得B（Ak）为k阶正定矩阵，
D为k阶列向量，D^t为D的转置。
3。A（k+1）为k+1阶正定矩阵《==》
有k+1阶正线下三角矩阵R，使A（k+1）=R^tR
R=
R11， 0
[R12]^t，√d
其中R11为k阶矩阵，R12为k阶列向量，[R12]^t为R12的转置。
==》Ak=[R11]^t[R11]+[1/d]CC^t==》
dAk-CC^tAk=d[R11]^t[R11]为k阶正定矩阵。
dAk-CC^tAk=（d*a（i，j）-a（i，k+1）*a（j，k+1））
设e（i，j）=d*a（i，j）-a（i，k+1）*a（j，k+1）
4。
由归纳法的假设，得（e（i，j）^2）为k阶正定矩阵《==》
f（i，j）=d^2*a（i，j））^2-a（i，k+1））^2*a（j，k+1））^2=
=e（i，j）^2+2a（i，k+1）*a（j，k+1）*e（i，j）
（a（i，k+1）*a（j，k+1））=CC^t为正半定矩阵。
使用前面的定理得
2（a（i，k+1）*a（j，k+1）*e（i，j））为正半定矩阵。
我们知道正半定矩阵+正定矩阵=正定矩阵得
（f（i，j））为正半定矩阵《==》
有k阶正线下三角矩阵Q，使（f（i，j））/d^2=Q^tQ
（f（i，j）/d^2）=
a（i，j））^2-a（i，k+1））^2*a（j，k+1））^2/d^2=
=B（Ak）-DD^t/d^2
==》
B（A（k+1））=
B（Ak），D
D^t, d^2
=P^tP
其中P=
Q， 0
D^t/d，d
Pk+1阶正线下三角矩阵《==》B（A（k+1））
为k+1阶正定矩阵。
命题得证。
注意：前面的定理可得下面定理。
定理2：设An=（aij），Bn=（bij），为n阶正定矩阵，
则Cn=（aij*bij）为n阶正定矩阵。
。收起
