第一题:如图:直角三角形ABC全等于直角三角形ADE,∠ABC=∠ADE=90°。
(1) 连接CD、EB,证明 CD=EB
证:因为直角三角形ABC全等于直角三角形ADE,所以,∠BAC=∠DAE,
所以,∠DAC=∠BAE
又AD=AB,AC=AE,
所以三角形CAD与三角形EAB全等,所以CD=ED。
(2) 连接DB、CE,证明 DB∥CE
证:因为AD=AB,所以三角形ADB为等腰三角形
所以,∠ADB=∠ABD
又∠ABC=∠ADE=90°,所以,∠DBF=∠BDF
所以三角形DBF为等腰三角形,
所以DF=BF
又BC=ED,所以,CF=EF
所以三角形CFE也是等腰三角形
所以,∠FCE=∠FEC
又∠BFD=∠EFC
所以,∠FCE=∠FBD
所以DB∥CE。
(3) 连接DB、AF,证明 AF⊥DB
证:因为三角形ADB和三角形BFD均为等腰三角形,
所以AF⊥DB。
(4) 连接CE、AF,证明 AF⊥CE
证:因为AF⊥DB,DB∥CE
所以,AF⊥CE。
第二题:如图,已知:点P是正方形ABCD中的一点,∠ABP=∠BAP=15°
求证:三角形CDP是等边三角形。
证:因为∠ABP=∠BAP=15°,所以三角形BAP为等腰三角形
所以,AP=PB,∠PBD=∠PAC=75°
又AC=BD
所以,三角形PAC与三角形PBD全等,
所以PC=PD
即三角形PCD为等腰三角形
又∠BPA+∠APC+∠BPB+∠CPD=360°
∠CPD=∠ACP+∠BDP
所以∠CPD=360°-75°-75°-150°=60°
所以三角形PCD为等边三角形。
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