数列求和的证命
证明1^2+2^2+……+n……2=n（n+1）（2n+1）/6这一性质的详细证明过程.
全部回答
你应该是问：
1^2+2^2+……+n^2=n（n+1）（2n+1）/6的证明吧？
如下：
利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1。 把这n个等式两端分别相加，得： (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+。
。。。+n^2)+3(1+2+3+。 。。+n)+n, 由于1+2+3+。。。+n=(n+1)n/2, 代人上式得： n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+。
。。。+n^2)+3(n+1)n/2+n 整理后得： 1^2+2^2+3^2+。。。。+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。 。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1。 把这n个等式两端分别相加，得： (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+。
。。。+n^2)+3(1+2+3+。 。。+n)+n, 由于1+2+3+。。。+n=(n+1)n/2, 代人上式得： n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+。
。。。+n^2)+3(n+1)n/2+n 整理后得： 1^2+2^2+3^2+。。。。+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。 。
用求立方差的方法证明不易想到,就用数学归纳法证明吧。
(1)当n=1时,左边=1,右边=1*2*3/6=1,左边=右边,命题成立 (2)设当n=k时,命题成立,即1^2+2^2+…+k^2=k(k+1)(2k+1)/6 当n=k+1时, 1^2+2^2+…+k^2+(k+1)^2 =k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2 =(1/6)(k+1)[2k^2+k+6k+6] =(1/6)(k+1)[2k^2+7k+6] =(1/6)(k+1)(k+2)(2k+3) =(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1] 命题成立 由(1)(2)两步可知,对任一正整数n 1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立 。
(1)当n=1时,左边=1,右边=1*2*3/6=1,左边=右边,命题成立 (2)设当n=k时,命题成立,即1^2+2^2+…+k^2=k(k+1)(2k+1)/6 当n=k+1时, 1^2+2^2+…+k^2+(k+1)^2 =k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2 =(1/6)(k+1)[2k^2+k+6k+6] =(1/6)(k+1)[2k^2+7k+6] =(1/6)(k+1)(k+2)(2k+3) =(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1] 命题成立 由(1)(2)两步可知,对任一正整数n 1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立 。
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