用求立方差的方法证明不易想到,就用数学归纳法证明吧。
(1)当n=1时,左边=1,右边=1*2*3/6=1,左边=右边,命题成立
(2)设当n=k时,命题成立,即1^2+2^2+…+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
当n=k+1时,
1^2+2^2+…+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(1/6)(k+1)[2k^2+k+6k+6]
=(1/6)(k+1)[2k^2+7k+6]
=(1/6)(k+1)(k+2)(2k+3)
=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]
命题成立
由(1)(2)两步可知,对任一正整数n
1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立
。