证明函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性

设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l, l)上的 证明 (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 证明 (1)设F(x)f(x)g(x)。如果f(x)和g(x)都是偶函数则 F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)...全部

  设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l, l)上的 证明 (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
   证明 (1)设F(x)f(x)g(x)。如果f(x)和g(x)都是偶函数则 F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数。
   如果f(x)和g(x)都是奇函数则 F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数。
   (2)设F(x)f(x)×g(x)。如果f(x)和g(x)都是偶函数则 F(x)f(x)×g(x)f(x)×g(x)F(x) 所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数。
   如果f(x)和g(x)都是奇函数则 F(x)f(x)×g(x)f(x)][g(x)]f(x)×g(x)F(x) 所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数。
   如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则 F(x)f(x)×g(x)f(x)[g(x)]f(x)×g(x)F(x) 所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数。
   。收起